參考資料：
網易公開課：http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html 麻省理工公開課：線性代數
教材：Introduction to Linear Algebra, 4th edition by Gilbert Strang
連結：https://pan.baidu.com/s/1bvC85jbtOVdVdw8gYMpPZg
提取碼：s9bl
一、背景知識
（1）假設存在$m\times n$矩陣$A$，其中$m<n$（未知量數的個數多于方程數）
則，$A\mathbf{x}=0$有無窮多個解 //因為至少存在$n-m$個自由變量，是以零空間不僅包含零向量，還包含其他非零特解向量
二、線性無關/獨立（Independence）
（1）定義：向量$\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \cdots, \mathbf{x}_n$是線性無關的，僅當
$$c_1\mathbf{x}_1+c_2\mathbf{x}_2+\cdots+c_n\mathbf{x}_n=0$$
的解隻有所有的$c_i$為零，不存在其他使上式為零的線性組合。否則，為線性相關。
（2）等價表達1：以各個向量為列的矩陣$[\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \cdots, \mathbf{x}_n]$的零空間僅包含零向量。否則，為線性相關。
等價表達2：以各個向量為列的矩陣$[\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \cdots, \mathbf{x}_n]$的秩$r=n$（無自由變量） //$r<n$則線性相關
注：零向量與任何向量都是線性相關的。
三、向量生成空間（span a space）
（1）定義：向量$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_l$生成一個空間，意味着該生成空間由$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_l$的所有線性組合構成。 //如矩陣的各列生成列空間
四、向量空間的基（basis） //向量的個數不多不少，剛剛好
（1）定義：空間的基指的是一個向量組$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_d$，該向量組具有兩種基本性質
- 該向量組是線性無關的
- 該向量組可以生成整個空間
（2）空間的基不唯一 //如任意$n\times n$可逆矩陣都是空間$R^n$的基
（3）空間的任意基包含的基向量個數是相等的 //如空間$R^n$的基向量個數為$n$
（4）空間的維數（dimension）：空間基向量的個數
（5）矩陣的秩$rank(A)$定義
- 主列的個數
- 列空間的維數$dim(A)$（線性無關列的個數） //列空間的基為任意$r$個線性無關的向量
（6）零空間$N(A)$的維數：自由變量的數目=$n-r$
