矩陣消元、乘法、逆矩陣、LU分解、轉置-置換-向量空間、列空間、零空間
學習目錄
第 01 講 行圖像和列圖像
第 02 講 矩陣消元
第 03 講 矩陣的乘法和逆矩陣
第 04 講 矩陣的LU 分解
第 05 講 轉置、置換和空間
第 06 講 列空間和零空間
第 07 講 求解 Ax=0:主變量，特解
第 08 講 求解Ax=b：可解性與解的結構
第 09 講 線性相關性、基、維數
第 10 講 四個基本子空間
第 11 講 矩陣空間、秩1矩陣和小世界圖
第 12 講 圖和網絡
第 01 講 行圖像和列圖像
第 02 講 矩陣消元
隻要矩陣可逆，均可通過消元法求得 Ax=b 的解
若此處
高斯消元法：
對方程組中某個方程進行時的那個的數乘和加減，将某一未知系數變為零，來削弱未知數個數
矩陣左上角 1 為“主元一”
① 用消元法将除了第一行，消除其他行中的主元一
主元不能為0，如果恰好消元至某行，0出現了主元的位置，應當通過與下一行進行“行交換”，使得非零數字出現在主元位置上；如果此時下方沒有對等位置上非零，則消元終止并證明此矩陣不可逆，且線性方程組沒有唯一解
回代
應用增光矩陣，對等式右側做同樣運算
第 03 講 矩陣的乘法和逆矩陣
1）标準乘法（行*列）
2）列操作
3）行操作
4）分塊乘法
第 04 講 矩陣的LU 分解
第 05 講 轉置、置換和空間
一、置換矩陣Permutation
置換矩陣：可進行交換的矩陣，是行重新排列了的機關矩陣。注意點：
1）機關矩陣是最基本的置換矩陣。
2）n揭一共有n!個置換矩陣。
3）所有置換矩陣都可逆，而且逆與其轉置相等。一個置換矩陣乘以其轉置等于機關矩陣。
二、向量空間Vectorspaces，子空間subspaces重點了解向量空間概念，子空間概念
向量空間：
表示有很多向量，一整個空間的向量。但并不是任意向量的組合都能成為空間。必須滿足一定規則，必須能夠進行加法和數乘運算，必須能夠進行線性組合，對加法和數乘運算封閉。
向量空間性質（或者說需要滿足的規則）：對加法和數乘運算封閉，或者說對線性組合封閉，即所有的空間内的向量線性組合後仍在空間内。
子空間：
滿足空間規則，但又不需包含所有向量。取某向量空間的部分空間（顯然得到的就不是向量空間了），這部分中的向量不管是加法還是數乘，結果依然在此部分空間内，這就是子空間。
R2的子空間：1）穿過原點的直線；2）原點；（特别注意，這不是零空間，隻能說零向量是R2的子空間）3）R2
R3的子空間：1）穿過原點的直線；2）穿過原點的平面；3）原點；（特别注意，這不是零空間）4）R3
第 06 講 列空間和零空間
如下例子，A的列空間是R4的子空間，記為C(A)，抽象起來：A的列空間由A三個列向量的線性組合組合構成。
這個空間到底是什麼樣子？它等于整個四維空間嗎？
不等于，它隻是相當于四維空間的一個較小的空間。
抽象背後的實際目的，都是為了深刻認識Ax=b，Ax=b是否對任意b（右側向量）都有解？或者說，什麼樣的b使方程組有解？
Ax=b對任意b并不總有解，因為Ax=b中有四個方程，卻隻有三個未知數。方程組不總有解，因為3個列向量的線性組合無法充滿整個四維空間，是以還有一大堆的b不是這三個列向量的線性組合。
怎樣的b，能讓方程組有解，什麼樣的右側向量有這種性質？什麼b讓方程組有解？
1）b為零向量。Ax=0總有一個零解
2）b是列向量的線性組合。Ax=b有解，當且僅當右側向量b屬于A的列空間。（列空間包含所有A乘以任意x得到的向量，也就是包含所有有解的b）
列空間是非常核心的内容，它能告訴我何時方程組有解。
更深入一些的問題，以上三個列向量是否線性無關，是否有某個向量并沒有起到作用，能否去掉某列，得到同樣的列空間？上面的A，其實可以去掉第三列，因為第三列是前兩列的和線性組合，我們把前兩列稱為A的主列。其實，我們同樣可以去掉第一列或者第二列，因為他們是其餘兩列的差線性組合。不過按照慣例，優先考慮靠前的線性無關向量。
求解零空間
一般方法為消元法。但上式的解很容易看出來
怎樣描述這個零空間，這裡的零空間是R3中穿過原點的一條直線。
如下，考慮另外一個問題，右側b向量取一個非0向量，此時x有解，（這時x的解不是零空間了），那麼所有的x解構成子空間嗎？很明顯不構成子空間，或者說向量空間。因為很明顯0向量不在這個空間内，沒有0向量，就不用談向量空間了（原因很明顯，數乘運算中，常數取0時需要滿足封閉規則）。
那麼它的解是什麼？（100），（0-1-1）。。。它實際上是一條不穿過原點的直線（或者在别的更普通的例子中是不穿過原點的平面）
以上兩種子空間的總結：
有兩種方法構造子空間，其一是通過列的線性組合構造列空間，其二是求解向量必須滿足的方程組來構造子空間（通過讓x滿足特定條件來得到子空間，Ax=0将構造出零空間）