線性代數筆記分享（三）行列式

行列式

• • 相關概念
  • • 遞歸定義
    • 餘子式
    • 代數餘子式
    • 逆序數
  • 計算
  • • 基本方式
    • 特殊情況
  • 伴随矩陣
  • • 定義
    • 性質
    • 矩陣的可逆充要條件
    • 應用
  • 應用
  • • 求秩
  • 行列式求解題型
  • • 最後一行全為n，其餘元素除對角線外都為n
    • 沒有同元素的行或列，但是每行沒列都隻有兩種元素，其中一種隻出現在主對角線上
    • 行元素以幂增長，範德蒙行列式
    • 大型矩陣可分塊得到負對角線上的0塊
  • 性質
• 思維導圖

相關概念

• 由解方程組時消元引出
• 數值上等于消元後目标未知數的系數

遞歸定義

• 

餘子式

代數餘子式

逆序數

計算

基本方式

• 對角線法則
  • 二階
    • 主對角線的積減負對角線的積
  • 三階
    • 主對角線和與主對角線平行的元素的積求和，減去負對角線和與負對角線平行的元素的積求和

      • 

    • 特征每項是三個元素的積，按行标自然排列，有正有負

特殊情況

• 上/下三角矩陣或對角矩陣行列式等于主對角線上元素的積
• 行列式中有完全一樣的行，行列式為0
• 有0行或列，行列式為0
• 某兩行成比例，行列式為0

伴随矩陣

定義

• 矩陣的每一行按行展開的代數餘子式對應于伴随矩陣的列

性質

• 

矩陣的可逆充要條件

• 

應用

• 二階矩陣的伴随
  • 主對角線互換位置，負對角線變号
• 改進
  • 矩陣可逆判斷的條件改進
    • AB=E或BA=E即可
  • A不為0，B不為0，但AB等于0
    • 說明A和B的行列式均為0
      • 兩個不可逆的矩陣積為0矩陣
  • 高階方陣分塊求逆

    • 

  • 分塊矩陣
    • 乘積（求幂同理）

      • 

    • 初等變換（求逆）

      • 

應用

求秩

• 矩陣中的非零子式的最高階數等于該矩陣的秩
  • 初等變換不改變子式的非零性
• 方陣滿秩
  • 行列式不為0
    • 矩陣可逆
      • 所有向量線性無關
• 一般矩陣滿秩
  • 行列式不為0
    • 矩陣可逆
      • 向量線性無關
• 方陣是降秩矩陣
  • 行列式為0

    

    - AA*=0
               

• n階方陣的秩為n-2
  • 伴随的秩等于0
• n階方陣的秩為n-1
  • 伴随的秩等于1

行列式求解題型

最後一行全為n，其餘元素除對角線外都為n

- 其餘行都減最後一行，得到一個下三角矩陣
           

沒有同元素的行或列，但是每行沒列都隻有兩種元素，其中一種隻出現在主對角線上

- 每行的和相同，都加到第一行在提取第一行公因式，借助第一行的1消掉多餘的元素得到三角矩陣
           

行元素以幂增長，範德蒙行列式

- 遞歸消去最前一列的元素，再按第一行的1展開

	- 最終得到一次方的元素，按順序兩兩相減再相乘
           

大型矩陣可分塊得到負對角線上的0塊

- 總的行列式等于主對角線上分塊行列式的積
           

性質

• 正交矩陣的行列式等于正負1
• 轉置不影響行列式的值
• 行列式可以按行（列）提取公因式
• 互換兩行行列式變号
• 第三種初等變換不影響行列式的值
• 行列式可以按某一列的元素和拆分成兩個行列式的和
• 運算

  • 

思維導圖

下期預告：第四章·解線性方程組