线性代数笔记分享（三）行列式

行列式

• • 相关概念
  • • 递归定义
    • 余子式
    • 代数余子式
    • 逆序数
  • 计算
  • • 基本方式
    • 特殊情况
  • 伴随矩阵
  • • 定义
    • 性质
    • 矩阵的可逆充要条件
    • 应用
  • 应用
  • • 求秩
  • 行列式求解题型
  • • 最后一行全为n，其余元素除对角线外都为n
    • 没有同元素的行或列，但是每行没列都只有两种元素，其中一种只出现在主对角线上
    • 行元素以幂增长，范德蒙行列式
    • 大型矩阵可分块得到负对角线上的0块
  • 性质
• 思维导图

相关概念

• 由解方程组时消元引出
• 数值上等于消元后目标未知数的系数

递归定义

• 

余子式

代数余子式

逆序数

计算

基本方式

• 对角线法则
  • 二阶
    • 主对角线的积减负对角线的积
  • 三阶
    • 主对角线和与主对角线平行的元素的积求和，减去负对角线和与负对角线平行的元素的积求和

      • 

    • 特征每项是三个元素的积，按行标自然排列，有正有负

特殊情况

• 上/下三角矩阵或对角矩阵行列式等于主对角线上元素的积
• 行列式中有完全一样的行，行列式为0
• 有0行或列，行列式为0
• 某两行成比例，行列式为0

伴随矩阵

定义

• 矩阵的每一行按行展开的代数余子式对应于伴随矩阵的列

性质

• 

矩阵的可逆充要条件

• 

应用

• 二阶矩阵的伴随
  • 主对角线互换位置，负对角线变号
• 改进
  • 矩阵可逆判断的条件改进
    • AB=E或BA=E即可
  • A不为0，B不为0，但AB等于0
    • 说明A和B的行列式均为0
      • 两个不可逆的矩阵积为0矩阵
  • 高阶方阵分块求逆

    • 

  • 分块矩阵
    • 乘积（求幂同理）

      • 

    • 初等变换（求逆）

      • 

应用

求秩

• 矩阵中的非零子式的最高阶数等于该矩阵的秩
  • 初等变换不改变子式的非零性
• 方阵满秩
  • 行列式不为0
    • 矩阵可逆
      • 所有向量线性无关
• 一般矩阵满秩
  • 行列式不为0
    • 矩阵可逆
      • 向量线性无关
• 方阵是降秩矩阵
  • 行列式为0

    

    - AA*=0
               

• n阶方阵的秩为n-2
  • 伴随的秩等于0
• n阶方阵的秩为n-1
  • 伴随的秩等于1

行列式求解题型

最后一行全为n，其余元素除对角线外都为n

- 其余行都减最后一行，得到一个下三角矩阵
           

没有同元素的行或列，但是每行没列都只有两种元素，其中一种只出现在主对角线上

- 每行的和相同，都加到第一行在提取第一行公因式，借助第一行的1消掉多余的元素得到三角矩阵
           

行元素以幂增长，范德蒙行列式

- 递归消去最前一列的元素，再按第一行的1展开

	- 最终得到一次方的元素，按顺序两两相减再相乘
           

大型矩阵可分块得到负对角线上的0块

- 总的行列式等于主对角线上分块行列式的积
           

性质

• 正交矩阵的行列式等于正负1
• 转置不影响行列式的值
• 行列式可以按行（列）提取公因式
• 互换两行行列式变号
• 第三种初等变换不影响行列式的值
• 行列式可以按某一列的元素和拆分成两个行列式的和
• 运算

  • 

思维导图

下期预告：第四章·解线性方程组