線性代數基本公式結論簡要總結(1)

這兩天在結合教材和MIT公開課的視訊複習線代，希望能夠在短時間内撿起兩年前學過的東西。當時線代給我的最大感覺就是十分抽象，總是毫無道理地就給出一堆定義、概念和一些奇怪的公式推演，平時做的書後題和考試題大多數有很強技巧性的各種計算，最後感覺學到的全都是各種“毫無關聯”的概念、公式和計算套路。

是以最近複習時，着重思考和查找了許多概念之間存在的聯系，以及它們的内在意義和常見應用場景，總結在部落格的“線性代數”這一類别下。本文主要整理一些基本的公式和結論。

線性方程組：

行初等變換：倍加，（行）對換，倍乘。變換前後的矩陣行等價

若兩個方程組的增廣矩陣行等價，則具有相同的解集

矩陣Ａ中主元的位置是Ａ中對應于它的階梯行矩陣先導元素的位置（每列主元pivot的下方元素均為0，主元所在行的左側元素均為0）

線性方程組的解包括：基本變量（主元列對應的未知量）和自由變量（非主元列對應的未知量）

線性方程組Ax=b 解的存在與唯一性定理：（即方程組相容的充要條件）增廣矩陣的最右列不是主元列（即化簡後沒有形如：[0,0…0,b] 且b != 0的行）

若有解（相容），則：1.若無自由變量，有唯一解

　　　　　　　　　　2.若有自由變量，有無窮多解

Span{u,v}：表示有向量u,v及其線性組合構成的向量集合（包含0向量）

方程Ax=b有解 <=> b是A中各列的線性組合。即矩陣A與向量x相乘，相當于以x中各元素值作為A的各個列向量的權重，對A的各個列向量作線性組合，得到向量b。若A為方陣，則(Ax)的幾何意義是：利用矩陣A(m×m)對m維空間中的向量x做一個變換，變換後x的投影為b，仍在m為空間，且變換實際上是對x的長度的方向做了改變。（其幾何意義對于了解特征值和特征向量很有幫助）

對于齊次線性方程組 Ax=0，均存在一個解：向量0，稱作平凡解。當且僅當方程至少有一個自有變量時（即A的列向量組線性相關時），它有非平凡解。即齊次線性方程組要麼僅有0解，要麼有無窮多解。在幾何意義上，含有非平凡解的齊次解相當于在空間中通過原點的一個“平面”，這個“平面”恰由方程組的基礎解系（解集的極大線性無關組）的所有線性組合構成。對于非齊次線性方程組：Ax=b，解集為Ax=0的齊次解加上一個特解，幾何上是不過原點的平面。

相容方程組的求解并把解集用參數向量表示，步驟如下：

1.把增廣矩陣行化簡為簡化階梯形矩陣

2.把每個基本變量用自有變量表示

3.把一般解x表示成向量，若有自由變量，其元素依賴自由變量

4.把x分解為向量的線性組合，組合系數為設定的常數，最終用自由變量作為參數

一組向量{ vi v i }線性無關定義：若向量方程 x1v1+...+xpvp=0 x 1 v 1 + . . . + x p v p = 0 僅有平凡解，則x中的各個（列）向量線性無關。若存在不為0的權值 c1...cp c 1 . . . c p 滿足 c1v1+...+cpvp=0 c 1 v 1 + . . . + c p v p = 0 ，則它們線性相關。

Rn R n 中任意向量組{ v1...vp v 1 . . . v p }，當p>n時線性相關。

若向量組{ v1...vp v 1 . . . v p }包含0向量，則它們線性相關。

線性變換：

之前在了解方程組時，把矩陣A與向量x相乘看做是對A中各列向量的線性組合。除此之外，矩陣乘以向量，也就是對向量做一個線性變換，還有着更加鮮明的幾何意義。（這種幾何意義可以直接應用在圖像處理和圖形學中）

對于矩陣A(m×n)，Ax=b相當于矩陣A對 Rn R n 空間中的向量x做一個變換，映射到 Rm R m 空間中。由 Rn R n 到 Rm R m 的一個變換（或稱映射、函數）T是一個規則，将向量x映射為另一次元空間中的向量T(x)。集合 Rn R n 稱為定義域， Rm R m 為取值空間（或餘定義域），T(x)稱為x在T作用下的像，所有像T(x)的集合稱為T的值域。從x映射到Ax即為一個矩陣變換。若A為方陣，則映射後的向量b僅僅是原向量x在長度和方向上的改變（拉伸和旋轉）。

線性變換定義：保持向量的加法運算和标量乘法運算具有線性性的變換。