文章目錄
-
- 群的定義
- 群的分類
- 群的證明方法
- 交換群的證明方法
- 數集回顧
- 群的證明
群的定義
群 的 定義 : 一個 非空 集合
G
G
G 中 , 如果 定義了 一個 “乘法” 運算 , 滿足以下 四個 性質 , 那麼 該 非空集合
G
G
G 稱為 群 ;
-
- 1. 封閉性 :
-
-
1> 符号表示 :
∀
a
,
b
∈
G
,
a
×
b
=
c
∈
G
\forall a,b \in G , a \times b = c \in G
∀a,b∈G,a×b=c∈G
-
2> 自然語言描述 : 非空集合
G
G
G 中任意兩個元素
a
,
b
a,b
a,b 相乘, 其結果
c
c
c 也是 集合
G
G
G 中的元素 ;
- 2. 結合律 :
-
符号表示 :
∀
a
,
b
,
c
∈
G
,
a
×
(
b
×
c
)
=
(
a
×
b
)
×
c
\forall a,b, c \in G , a \times ( b \times c ) = (a \times b) \times c
∀a,b,c∈G,a×(b×c)=(a×b)×c ;
- 3. 有機關元 :
-
-
1> 符号表示 :
∃
e
∈
G
,
∀
a
∈
G
,
e
×
a
=
a
×
e
=
a
\exist e \in G, \forall a \in G, e \times a = a\times e = a
∃e∈G,∀a∈G,e×a=a×e=a
-
2> 自然語言描述 : 存在一個
e
e
e , 乘以
a
a
a , 或者 與
a
a
a 相乘 , 其結果都是
a
a
a , 相當于
1
1
1 ;
-
4. 每個元
a
a
a 有逆元
a
−
1
a^{-1}
a−1 :
-
-
1> 符号表示 :
∃
e
∈
G
,
∀
a
∈
G
,
∃
a
−
1
∈
G
,
a
−
1
×
a
=
a
×
a
−
1
=
e
\exist e \in G, \forall a \in G, \exist a^{-1} \in G, a^{-1} \times a = a \times a^{-1} = e
∃e∈G,∀a∈G,∃a−1∈G,a−1×a=a×a−1=e ,
-
2> 自然語言描述 :
e
e
e 是之前的 機關元 ( 類似于
1
1
1 ) ,
a
a
a 與
a
a
a 的逆 相乘 , 結果是機關元
e
e
e ;
注意 :這個 “乘法” 是指集合中元素的 “乘法” , 即 集合中元素的 二進制運算 ;
G
×
G
G \times G
G×G 構成代數結構可以表示成
(
G
,
⋅
)
( G , \cdot )
(G,⋅)
群的分類
群 的 分類 :
-
- 1.交換群 ( Abel 群 ) : 交換律 成立的 群 , 稱為 交換群 或 Abel 群 ;
- 2.非交換群 ( 非 Abel 群 ) : 交換律 不成立的 群 , 稱為 非交換群 或 非 Abel 群 ;
-
3.群 的 階 : 群
G
G
G 含有的元素個數叫群的階 , 記做
∣
G
∣
|G|
∣G∣ ;
-
4.有限群 :
∣
G
∣
|G|
∣G∣ 是 有限的 , 叫做 有限群 ;
-
5.無限群 :
∣
G
∣
|G|
∣G∣ 是 無限的 , 叫做 無限群 ;
群的證明方法
群的證明方法 : 給定一個 集合
G
G
G 和 二進制運算 , 證明該集合是群 ;
-
- 1.非空集合 : 首先說明 該集合是一個非空集合 ;
- 2.證明封閉性 : 集合 中 任意兩個元素 進行運算 得到的 第三個元素 必須也在 集合中 ;
-
3.證明結合律 : 集合中
a
a
a 與
b
b
b 和
c
c
c 進行二進制運算 , 其結果 與
a
a
a 和
b
b
b 與
c
c
c 進行運算結果相同 ;
-
4.證明其有機關元 : 集合中存在一個
e
e
e 元素 ,
a
a
a 與
e
e
e 和
e
e
e 與
a
a
a 運算 結果都是
a
a
a ; 相當于乘法中的
1
1
1 或 加法中的
0 ;
-
5.證明其逆元 :
a
a
a 與
a
−
1
a^{-1}
a−1 或者
a
−
1
a^{-1}
a−1 與
a
a
a 進行運算 , 其結果是
e
e
e 機關元 ;
滿足以上
4
4
4 個條件 , 就可以證明 該集合 是一個 關于該運算的 群 ;
交換群的證明方法
在群的證明方法基礎上 , 證明其交換律成立 ;
數集回顧
數集 及 表示方法 :
-
-
1.整數 :
Z
Z
Z , 所有整數組成的集合 , 稱為 整數集 ;
-
2.正整數 :
Z
+
,
N
∗
,
N
+
Z^+,N^*,N^+
Z+,N∗,N+ , 所有正整數組成的集合 , 稱為正整數集 ;
-
3.負整數 :
Z
−
Z^-
Z− , 所有負整數組成的集合 , 稱為負整數集 ;
-
4.非負整數 :
N
N
N , 所有非負整數組成的集合 , 稱為非負整數集 ( 或 自然數集 ) ;
-
5.有理數 :
Q
Q
Q , 全體有理數 組成的集合 , 稱為有理數集 ;
-
6.實數集 :
R
R
R , 全體實數組成的集合 , 稱為實數集 ;
-
7.虛數 :
I
I
I , 全體虛數組成的集合 , 稱為虛數集 ;
-
8.複數 :
C
C
C , 全體實數 和 虛數 組成的集合 , 稱為複數集 ;
有理數 : 是由整數除法産生的 , 可以由分數表示 , 其小數部分為 有限 或 無限循環小數 ;
實數 : 無理數一般是由正整數開方産生 , 實數與數軸上的點一一對應 , 包含有理數 和 無理數 , 無理數是無限不循環小數 ;
虛數 : 虛數一般是平方是負數或根号内是負數産生 , 虛數分為實部 或 虛部 ;
數集中的常用上标 用法 :
-
-
1.正數 :
+
^+
+ 表示該數集中元素全為 正數 ;
-
2.負數 :
−
^-
− 表示該數集中的元素全為 負數 ;
-
3.剔除
0 元素 :
∗
^*
∗ 表示剔除該數集上的元素
0 ;
R
∗
R^*
R∗ 表示剔除 實數集
R
R
R 中的 元素
0 ,
R
∗
=
R
∖
{
}
=
R
−
∪
R
+
=
(
−
∞
,
)
∪
(
,
+
∞
)
R^* = R \setminus \{0\} = R^- \cup R^+ = (- \infty , 0) \cup (0,+ \infty)
R∗=R∖{0}=R−∪R+=(−∞,0)∪(0,+∞)
群的證明
題目 : 證明所有有理數 關于 乘法 構成一個群 ;
證明方法 : 給定一個 集合
G
G
G 和 二進制運算 , 證明該集合是群 ;
-
- 1.非空集合 : 首先說明 該集合是一個非空集合 ;
- 2.證明封閉性 : 集合 中 任意兩個元素 進行運算 得到的 第三個元素 必須也在 集合中 ;
-
3.證明結合律 : 集合中
a
a
a 與
b
b
b 和
c
c
c 進行二進制運算 , 其結果 與
a
a
a 和
b
b
b 與
c
c
c 進行運算結果相同 ;
-
4.證明其有機關元 : 集合中存在一個
e
e
e 元素 ,
a
a
a 與
e
e
e 和
e
e
e 與
a
a
a 運算 結果都是
a
a
a ; 相當于乘法中的
1
1
1 或 加法中的
0 ;
-
5.證明其逆元 :
a
a
a 與
a
−
1
a^{-1}
a−1 或者
a
−
1
a^{-1}
a−1 與
a
a
a 進行運算 , 其結果是
e
e
e 機關元 ;
滿足以上
4
4
4 個條件 , 就可以證明 該集合 是一個 關于該運算的 群 ;
證明 :
① 封閉性 : 有理數 相乘 肯定也是有理數 , 滿足封閉性 ;
② 結合律 :
3
3
3 個 任意 有理數 相乘 , 顯然也是 滿足 結合律的 ;
③ 證明機關元 : 存在
e
=
1
e=1
e=1 , 有理數 乘以 1 或者 1 乘以 有理數 , 都等于該有理數 , 說明機關元存在 ;