剛體運動
本篇讨論一個很基礎的問題：如何描述機器人的位姿。這也是SLAM研究的一個很基本的問題。這裡的位姿表示了位置和姿态。描述位置很簡單，如果機器人在平面内運動，那麼用兩個坐标來描述它的位置：
如果在三維空間中運動，則它的位置就用三個空間坐标來表示：
對于姿态來說，在2D情況下還需要增加一個旋轉角θ；在3D情況下表達的方式就有多種，常見的如歐拉角、四元素、旋轉矩陣等。那麼有了位置和姿态，就可以描述一個坐标系；進一步，還能描述坐标系之間的轉換關系。常見的問題如：機器人視野中某個點，對世界坐标系的（或地圖的）哪個點？這時，就需要先得到該點針對機器人坐标系坐标值，再根據機器人位姿轉換到世界坐标系中。
齊次坐标系
在位姿轉換中，通常采用射影空間的齊次坐标表示。齊次坐标是什麼呢？記n維射影空間為
其中一個空間點的坐标為普通的3D坐标加一個齊次分量：
例如，在2維和3維射影空間中的點，分别表示為：
用四個數來表示點，說明點和坐标肯定不是一一對應的。沒錯，在齊次坐标中，某個點x的分量同乘一個非零常數k後，仍然表示的是同一個點。是以，一個點的具體坐标值不是唯一的。如
但是在w不等于0，可以對每一個坐标除以最後一項w，強制最後一項為1，進而得到一個點唯一的坐标表示：
那麼為什麼要使用齊次坐标來表示呢？原因如下：
1）齊次坐标下點和直線（高維空間裡為超平面）能夠使用同樣的表達。
把點和超平面采用同樣的表示，這種做法一個非常直接的好處，是射影幾何裡的“對偶原理”。該原理是說，任何有關“點”與“平面”的命題，都可以交換“點”與“平面”的概念，得到一個對偶的命題。對偶命題和原命題是一樣的。通過“對偶原理”，射影幾何的數學家就可以偷懶，隻需要證一半定理，因為對偶命題和原命題有同樣的涵義。例如，我們證明了
中某條件下三點共線，那麼替換概念後的三線共點則自然成立。
2）齊次坐标能囊括無窮遠點與無窮遠超平面
θθ3）齊次坐标可以友善地将平移與旋轉放在一個矩陣中
有關坐标系怎麼用齊次坐标進行變換，後文會詳細解釋。現在我們能表達點了，還剩下一個姿态。由于2D與3D差别較大，我們分而述之。
2D姿态的描述
3D變換
3D的旋轉可以由旋轉矩陣、歐拉角、四元素等若幹種方式描述，它 們也統稱為三維旋轉群SO(3);而3D的變換即旋轉加上位移，是SE(3)。為了和2D變換統一起見，我們首先介紹旋轉矩陣表示法。
旋轉矩陣描述