AI liner algebra

一、行列式與矩陣

    第一章《行列式》、第二章《矩陣》是線性代數中的基礎章節，有必要熟練掌握。

    行列式的核心内容是求行列式，包括具體行列式的計算和抽象行列式的計算，其中具體行列式的計算又有低階和高階兩種類型;主要方法是應用行列式的性質及按行列展開定理化為上下三角行列式求解。對于抽象行列式的求值，考點不在求行列式，而在于相關性質，矩陣部分出題很靈活，頻繁出現的知識點包括矩陣運算的運算規律、運算性質、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩的性質、初等矩陣的性質等。

    二、向量與線性方程組

    向量與線性方程組是整個線性代數部分的核心内容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了讨論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎性章節;後兩章特征值、特征向量、二次型的内容則相對獨立，可以看作是對核心内容的擴充。

    向量與線性方程組的内容聯系很密切，很多知識點互相之間都有或明或暗的相關性。複習這兩部分内容最有效的方法就是徹底理順諸多知識點之間的内在聯系，因為這樣做首先能夠保證做到真正意義上的了解，同時也是熟練掌握和靈活運用的前提。

    解線性方程組可以看作是出發點和目标。線性方程組(一般式)

    還具有兩種形式：(1)矩陣形式，(2)向量形式。

    1)齊次線性方程組與線性相關、無關的聯系

    齊次線性方程組 可以直接看出一定有解，因為當變量都為零時等式一定成立;印證了向量部分的一條性質“零向量可由任何向量線性表示”。

    齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：①有唯一零解;②有非零解。當齊次線性方程組有唯一零解時，是指等式中的變量隻能全為零才能使等式成立，而當齊次線性方程組有非零解時，存在不全為零的變量使上式成立;但向量部分中判斷向量組是否線性相關無關的定義也正是由這個等式出發的。故向量與線性方程組在此又産生了聯系：齊次線性方程組 是否有非零解對應于系數矩陣的列向量組是否線性相關。可以設想線性相關無關的概念就是為了更好地讨論線性方程組問題而提出的。

    2)齊次線性方程組的解與秩和極大無關組的聯系

    同樣可以認為秩是為了更好地讨論線性相關和線性無關而引入的。秩的定義是“極大線性無關組中的向量個數”。經過 “秩 → 線性相關無關 → 線性方程組解的判定”的邏輯鍊條，就可以判定列向量組線性相關時，齊次線性方程組有非零解，且齊次線性方程組的解向量可以通過r個線性無關的解向量(基礎解系)線性表示。

    3)非齊次線性方程組與線性表示的聯系

    非齊次線性方程組是否有解對應于向量是否可由列向量組線性表示，使等式成立的一組數就是非齊次線性方程組的解。

    三、特征值與特征向量

    相對于前兩章來說，本章不是線性代數這門課的理論重點，但卻是一個考試重點。其原因是解決相關題目要用到線代中的大量内容——既有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關，“牽一發而動全身”。本章知識要點如下：

    1.特征值和特征向量的定義及計算方法就是記牢一系列公式和性質。

    2.相似矩陣及其性質，需要區分矩陣的相似、等價與合同：

    3.矩陣可相似對角化的條件，包括兩個充要條件和兩個充分條件。充要條件1是n階矩陣有n個線性無關的特征值;充要條件2是任意r重特征根對應有r個線性無關的特征向量。

    4.實對稱矩陣及其相似對角化，n階實對稱矩陣必可正交相似于對角陣。

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    四、二次型

    本章所講的内容從根本上講是第五章《特征值和特征向量》的一個延伸，因為化二次型為标準型的核心知識為“對于實對稱矩陣A存在正交矩陣C使得A可以相似對角化”，其過程就是上一章相似對角化在為實對稱矩陣時的應用。

    本章知識要點如下：

    1.二次型及其矩陣表示。

    2.用正交變換化二次型為标準型。

    3.正負定二次型的判斷與證明。

    附：

    第一章 行列式

    1、行列式的定義

    2、行列式的性質

    3、特殊行列式的值

    4、行列式展開定理

    5、抽象行列式的計算

    第二章 矩陣

    1、矩陣的定義及線性運算

    2、乘法

    3、矩陣方幂

    4、轉置

    5、逆矩陣的概念和性質

    6、伴随矩陣

    7、分塊矩陣及其運算

    8、矩陣的初等變換與初等矩陣

    9、矩陣的等價

    10、矩陣的秩

    第三章 向量

    1、向量的概念及其運算

    2、向量的線性組合與線性表出

    3、等價向量組

    4、向量組的線性相關與線性無關

    5、極大線性無關組與向量組的秩

    6、内積與施密特正交化

    7、n維向量空間（數學一）

    第四章 線性方程組

    1、線性方程組的克萊姆法則

    2、齊次線性方程組有非零解的判定條件

    3、非齊次線性方程組有解的判定條件

    4、線性方程組解的結構

    第五章 矩陣的特征值和特征向量