2019 杭電多校 第三場

2019 Multi-University Training Contest 3

補題連結：2019 Multi-University Training Contest 3

1002 Blow up the city (HDU-6604)

題意

給定 \(n\) 個點和 \(m\) 條邊的有向無環圖，給出 \(q\) 次詢問，每個詢問給出 \(a\) 和 \(b\)，求有多少個點，滿足該點删去後 \(a\) 和 \(b\) 中至少一個點不能到達出度為 \(0\) 的點。

題解

支配樹/滅絕樹 拓撲排序 最近公共祖先

1006 Fansblog (HDU-6608)

給定素數\(\ P(1e^9\leq P\leq 1e^{14})\)，試找出小于\(P\)的最大素數\(\ Q\)，求出\(\ Q! \ mod \ P\)。

威爾遜定理 逆元 質數的密度分布 Miller-Rabin素數測試

威爾遜定理：當且僅當 \(P\) 為素數時：\((P - 1)!\equiv -1\ mod\ P\)

即 \((P-1)!\equiv(P-1)\ mod\ P\)，由于 \((P - 1)! = (Q!) * (Q + 1) * (Q + 2) * ... * (P - 1)\)，可得 \(Q!\ mod\ P=\frac {(P - 1)}{(Q + 1) * (Q + 2) * ... * (P - 1)}\ mod\ P=\frac {1}{(Q + 1) * (Q + 2) * ... * (P - 2)}\ mod\ P\)

可以使用 \(Miller-Rabin\) 素數測試判斷素數，也可直接使用試除法。

素數間的間隔不超過 \(600\) (素數間的大間隔(Large gaps between primes))，是以可直接從 \(P - 1\) 開始查找 \(Q\)。

注意數很大，需要使用快速乘。(WA了好幾發)

代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;

ll mulmod(ll a, ll b, ll m) {
    ll ans = 0;
    while (b) {
        if (b & 1) ans = (ans + a) % m;
        a = (a << 1) % m;
        b >>= 1;
    }
    return ans % m;
}

ll qmod(ll a, ll b, ll m) {
    if(!b) return 1 % m;
    ll ans = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) ans = mulmod(ans, a, m);
        a = mulmod(a, a, m);
        b >>= 1;
    }
    return ans % m;
}

bool Miller_Rabbin(ll n, ll a) {
    ll d = n - 1, s = 0, i;
    while (!(d & 1)) {
        d >>= 1;
        s++;
    }
    ll t = qmod(a, d, n);
    if (t == 1 || t == -1)
        return 1;
    for (i = 0; i < s; i++) {
        if (t == n - 1)
            return 1;
        t = mulmod(t, t, n);
    }
    return 0;
}

bool is_prime(ll n) {
    ll i, tab[4] = {3, 4, 7, 11};
    for (i = 0; i < 4; i++) {
        if (n == tab[i])
            return 1;
        if (!n % tab[i])
            return 0;
        if (n > tab[i] && !Miller_Rabbin(n, tab[i]))
            return 0;
    }
    return 1;
}

int main() {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        ll n;
        scanf("%lld", &n);
        for (ll i = n - 1;; --i) {
            if (is_prime(i)) {
                ll ans = 1;
                for (ll j = i + 1; j <= n - 2; ++j) {
                    ans = mulmod(ans, qmod(j, n - 2, n), n);
                }
                ans = (ans + n) % n;
                printf("%lld\n", ans);
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}
           

1007 Find the answer (HDU-6609)

給定 \(n\) 個整數 \(W_i(1\leq i\leq n)\) 和一個整數 \(m\)，對于每個\(\ i(1\leq i \leq n)\)，求至少需要删除多少個 \(W_k(1\leq k < i)\)，使得\(\sum_{j=1}^iW_j\leq m\)。其中 \(1\leq W_i\leq m(1\leq i\leq n)\)

multiset STL

神仙做法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e5 + 10;

multiset<int> s;
ll a[maxn];

int main() {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        int n; ll m;
        s.clear();
        scanf("%d %lld", &n, &m);
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            scanf("%lld", &a[i]);
        }
        ll sum = 0;
        int res = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            int cnt = 0;
            ll tmp = sum;
            if(tmp + a[i] > m) {
                auto it = s.end();
                while(tmp + a[i] > m) {
                   --it;
                   tmp -= *it;
                   ++cnt;
                }
            }
            printf("%d ",cnt + res);
            s.insert(a[i]);
            sum += a[i];
            auto it = s.end();
            while(sum > m) {
                --it;
                sum -= *it;
                s.erase(s.find(*it));
                ++res;
            }
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}