撰文 | Peter Lax
翻譯 | 張智民
校對 | 賈略羚
本文有兩個目的：勾畫約翰 馮 諾伊曼（John von Neumann）極具想象力、創造力、洞察力的超強頭腦；展現他的思想和實踐怎樣重塑了未來。作為計算機時代來臨的先知，在逝世近60年的今天，他的形象比以往任何時候都更加巍然聳立。
馮 諾伊曼在科學界擁有着諸多身份，但本質上他是一位數學家。他的天才在于他的數學和數學思維，結合不尋常的“常理”，主導了他對于所有事物的思考。如果馮 諾伊曼沒有英年早逝，他一定會得到阿貝爾獎、諾貝爾經濟學獎、諾貝爾計算機獎和數學獎：這是兩個目前還不存在但最終會設立的獎項。因而，我們在讨論他得到三個諾貝爾獎的可能性。如果考慮到他對量子力學基礎的貢獻，也許是三個半。現在讓我開始我的故事吧。通常，故事總是以我們的英雄出世開始的，那是1903年12月28日的布達佩斯，約翰是一個中産階級上層猶太家庭的三個兒子中的老大，父親馬克思（Max）是一個銀行家。19世紀末20世紀初的布達佩斯是激動人心的時代，約翰 盧卡奇（John Lukács）在他的《布達佩斯1900》中詳細記載了這段曆史，對于數學和實體那尤其是激動人心。費耶爾（Fejér）、裡斯（Riesz）兄弟、波利亞（Polya）和賽格（Szeg ）、哈爾（Haar）、波蘭尼（Polányi）、馮 卡門（von Kármán）、西拉德（Szilard）、喬治 海韋西（George Hevesi）、維格納（Wigner）、泰勒（Teller）、德奈什 加博爾（Dennis Gábor）和喬治 貝凱西（George Békesy）都出生于前後25年的那段時間。由于馮 卡門（von Kármán）父親的改造，學校系統對于天才兒童尤其敏感。因而毫不奇怪，在擁有50%猶太學生的法索利高中（Fasori Evangélikus Gimnázium）任教的數學教師拉斯洛 拉茨（László Rátz）立刻發現了諾伊曼非凡的天賦，并且知會了約翰的父母以及匈牙利數學圈子的領袖詹斯夫 柯謝克（Józef Kürschák），他們都認為年輕的諾伊曼應該接受特殊教育。他的第一位私人教師是加博爾 賽格（Gábor Szeg ），開始他也是一位神童，後來成為教授，先是在柯尼斯堡，接着去了斯坦福。賽格夫人經常回憶起她丈夫第一次見到少年天才滿眼含淚回到家裡的情景。賽格離開德國以後，由日後去了耶路撒冷希伯來大學的邁克爾 費基特（Michael Fekete）接替了他的位置。馮 諾伊曼的處女作是1922年19歲時與費基特合作的關于超限直徑（transfinite diameter）的一篇文章，在這之後，費基特在他餘生長期的科學生涯中都緻力于這一研究。
馮 諾依曼1920年代的相片
數學領域的少年神童并不罕見。除了大腦的邏輯線路，最可能的原因是，掌握和解決數學問題并不需要豐富的社會閱曆。而這一點對于許多數學家造成了不幸的結局，他們躲開那些以非數學的方式提出的數學問題。可以肯定的說，不是所有人，其實隻有少數數學家可以如馮 諾伊曼那樣全身心地接納真實世界的問題。他的摯友，同樣是數學家的斯塔 烏拉姆（Stan Ulam）認為，馮 諾伊曼的數學思維并非幾何的，也非感覺的，而是代數型的，一面是代數符号，另一面是對這些符号含義的解釋。或許這就是為什麼馮 諾伊曼擁有可以思考如此廣泛的各類問題的超人能力。
完成高中課程之後，他的父親認為數學是一個不實際的職業，而化學工程則是一個有前途的行當。于是，年輕的約翰離開了家，先去了柏林，兩年以後轉到蘇黎世。在那裡他結識了兩位大數學家喬治 波利亞和赫爾曼 外爾，更确切是他們結識了他。外爾是當時直覺主義的代表人物之一。1926年，馮 諾伊曼在蘇黎世得到了他的化工學位，同時他也在缺席大部分課程的情況下取得了布達佩斯大學的數學博士學位，那年他還未滿23歲。
在柏林，馮 諾伊曼還準備了聯邦理工學院的入學考試，并于1923年以“突出的成績”通過了這項考試（20年前阿爾伯特 愛因斯坦在這項考試中名落孫山）。與此同時，青年馮 諾伊曼開始撰寫他的數學博士論文《超限序數導論》（The Introduction of Transfinite Ordinal），這是一個技巧高超、哲理深刻的課題。最終論文以《集合論的公理化》（An Axiomatization of Set Theory）的名稱發表，目的是解決一個逐漸顯現的數學危機。對此，馮 諾伊曼日後是這樣描述的：
“19世紀末20世紀初，喬治 康托（Georg Cantor）的集合論，一個抽象數學的新分支導緻了困惑。具體說，某種推理引出沖突；盡管這種推理沒有占據集合論的主流和有用的部分，并且總是比較容易通過正規的判斷加以辨識，但令人困惑的是，為什麼較之理論的成功部分，這部分内容就欠缺合法性？”
馮 諾依曼開創性的量子力學文集
這件事将數學圈子分裂為兩個陣營：直覺主義者嚴格限制無窮集合的定義和使用，形式主義者則堅信利用歐幾裡得式的公理體系，最終會如人們期望的那樣擺脫無窮集合的羁絆，同時避免自相沖突。形式主義的上司人就是哥廷根的大衛 希爾伯特，柏林數學界領袖埃哈德 施密特（Erhardt Schmidt）的老師。施密特對于年輕的馮 諾伊曼非常友善，多年後的1954年，馮 諾伊曼在年邁的施密特的紀念文集上撰文表達了他的感激，盡管當時的他早已不再專注具體的數學問題，并且那些數不清的義務和職責使得他無暇撰寫論文。
馮 諾伊曼在集合論基礎研究方面的工作引起了遠在哥廷根的年邁的希爾伯特的注意，與日俱增的名聲為他赢得了洛克菲勒基金會的資助通路哥廷根一年。但當他到達那裡，才發現當時最緊要的問題不是集合論基礎，而是量子力學。建立一套數學理論解釋清楚海森堡和薛定谔的新理論斷斷續續地占據了馮 諾伊曼的餘生。他構造的希爾伯特空間的自共轭無界算子為量子力學提供了合理的理論基礎，同時也奠定了現代數學的基石。進而，這是典型的馮 諾伊曼風格：他不但奠定了理論基礎，而且指出了怎樣應用到具體的有意義的實體問題當中去。
這個時候的馮 諾伊曼名聲鵲起。他在柏林得到了臨時教職，接着是漢堡，整個歐洲到處都請他去演講。但到20年代末，他将目光投向了美國，部分原因是歐洲教授位置的稀缺，他遠在大多數人之前就已經意識到這一點。是以，1929年當普林斯頓邀請他去講數學實體（主要是新的量子力學）時，他欣然同意。接下去的四年，他将時間平均配置設定在普林斯頓和德國之間。
對于馮 諾伊曼而言，這段時間科學上重要的事件是哥德爾關于希爾伯特形式主義注定失敗的證明。1931年，哥德爾證明了，一個充分豐富的邏輯系統如果不求助更加豐富的邏輯系統不可能被證明沒有沖突。這件事終結了馮 諾伊曼與公理體系和集合論的緣分。然而他的努力并沒有白費，這些對于他日後考慮計算機的結構起到了至關重要的作用。第二個事件發生在1932年，那就是查德維克（Chadwick）關于中子的發現，這對未來産生了決定性的影響。
1933年，馮 諾伊曼往來于普林斯頓與德國之間這種50/50平均配置設定的完美安排突然之間結束了，原因有二：一是希特勒攫取了權力，二是馮 諾伊曼得到了新成立的普林斯頓高等研究院正教授的任命。這是一個榮譽極高的位置，得到同樣位置的有愛因斯坦和外爾，哥德爾也是後來才加入的。
30年代中期是馮 諾伊曼的創作高峰期。與弗朗西斯 默裡（Francis Murray）的合作，産生了他影響最深遠的發現之一——算子環理論，今天被稱為馮 諾伊曼代數。同時，不斷集聚的政治危機使他堅信戰争不可避免，并且迫在眉睫。他還預見了戰争導緻對于歐洲猶太人的迫害，如同一戰時期土耳其政府對于亞美尼亞人的屠殺。
第二排中間白發灰色西裝者為作者，其左邊為Andrew Majda,右邊為Eitan Tadmor
因而毫不奇怪，當清楚地意識到戰争的到來時，他就開始考慮如何運用他的數學天分來幫助美國備戰。當時戰争用到數學最多的部分是彈道學，而阿伯丁武器試驗場恰巧就在普林斯頓附近，是以他全身心的投入到爆炸和沖擊波的研究中。在這個過程中，他差一點兒就變成軍械部的一名陸軍中尉。由于他剛好超過35歲的限制，而戰争部長又不允許有特例，這件事情隻好作罷。這反倒幫了馮 諾伊曼，使他避免了軍隊那些嚴酷的繁文缛節，可以自由的接觸各種不同的項目。他接受了為數衆多的委員會的任命，積極地參與各種審議和評估。很快，他作為一個聯系實際的應用數學家的名氣開始飙升，就如同15年前他作為一名純粹數學家的名氣飙升一樣。如今他又有了一批新的“粉絲”，其中有軍械部的西蒙（Simon）将軍和科學研發辦公室主任萬尼瓦爾 布什（Vannevar Bush）将軍。1943年初，他被派往英國協助那裡的反潛和空戰。他的确幫上了忙，同時也從英國人那裡學到了很多關于爆炸方面的知識。很快，他就将所有這些剛剛學到的知識用到了一個重要的戰争項目中——制造原子彈。
馮 諾伊曼到達洛斯 阿拉莫斯國家實驗室的時候，等待着他的是一大堆難題，必須逐一解決才能制造钚彈。钚同位素自然裂變釋放足量的中子可以引爆任何炸彈，除非裝載的足夠迅速，而中子擠壓是最有希望的裝載方法。馮 諾伊曼之前學到的高爆方面的知識在這裡派上了用場，幫助他找到了一個安全快捷的方法。這項工作，加上對許多其它類似的實體和工程難題的貢獻，帶給他解決問題能人的美譽，得到了洛斯 阿拉莫斯最耀眼的明星們的敬重，這些人包括奧本海默（Oppenheimer）、貝特（Bethe）、費曼（Feynman）、佩爾斯（Peierls）、泰勒（Teller）以及其他許多人，大家承認他在智力方面高人一籌。核武器設計容不得半點差錯，每一個方案必須有理論驗證，這需要求解非線性可壓縮流體方程。馮 諾伊曼明白解析方法無法完成這個任務，解決連續力學問題的唯一出路是離散它們，然後數值求解得到的方程組。有效的進行這類計算的工具是高速可程式化的電子計算機、具有大容量的存儲器、程式語言、微分方程離散的穩定性理論以及快速求解離散後的方程的各種算法。正是這些任務，馮 諾伊曼在戰前以及戰後花了大量的精力。他清醒地意識到計算方法不僅在武器設計方面起到關鍵作用，對于解決種類繁多的科學和工程問題也至關重要。他對天氣和氣候的了解尤其激發了他在這方面的認知，同時他也明白除了暴力地解決具體問題，計算機還可以做更多的事情。
請允許我引述他1945年在蒙特利爾的一次演講，當時高速計算機僅僅是他想象中的模糊輪廓，他說：“毫無疑問，我們可以繼續列舉更多案例來佐證我們的論點，很多純粹和應用數學領域急需計算手段來打破目前純分析手段難以勝任對付非線性問題的僵局。誠然，有效的高速計算裝置有可能在非線性偏微分方程以及其他困難的甚至完全無法觸及的領域提供我們需要的啟示，這種啟示是所有數學領域取得真正進展所必須的。以流體力學為例，這種啟示在過去兩代人從純粹數學家的直覺中并未發生，盡管大量一流的數學努力曾經企圖打破這個死結。如果說在某種程度上這種啟示發生過，它們源于實體實驗。我們現在可以使計算更加有效、快速和靈活，使用新型計算機或許也能提供所需的極具啟發的提示，而這些最終會導緻重要的分析進展。”
這裡的每個人都知道馮 諾伊曼是現代計算機之父，但并非每個人都意識到他也是計算流體力學之父。下面，我就具體表述他在這方面的兩項貢獻。
馮 諾伊曼對于有限差分方程理論的奠基性貢獻之一是穩定性的概念，這是以他的名字命名的一項重要測試。按照他給出的最初表述，這項測試僅僅包含常系數線性方程的穩定性，但他大膽預言這項測試同樣适用于變系數的系統，後來的事實證明他是對的。
馮 諾伊曼計算可壓縮流體最深刻的思想是激波的捕捉。這意味着激波以及這類流體中不可避免而産生的其他間斷在離散逼近中不是作為内部邊界，而是變化迅速的過渡層，流體中每一個點都被當作普通點來處理。在1944年的一項計算中，他成功地研究了一端封閉的管道中氣體的流動：初始向後，與氣流方向相反。在激波位置，運動粒子的路徑突然改變方向。他觀測到粒子路徑在激波附近擺動，說明速度場在那裡震蕩。這種震蕩源于馮 諾伊曼使用的差分方程的色散效應。随後，在與裡克特邁耶（Richtmyer）的一篇文章中，人工粘性被引入以消除非實體的震蕩。
如果馮 諾伊曼今天醒來，他會震驚于哪一件事？高性能廉價的個人電腦的普及？網際網路？計算機和計算科學的高度發展？氣候的計算仍然是一個困難的問題？基因組的解碼？登陸月球？蘇聯解體？或是這個世界還沒有自我毀滅？
馮 諾伊曼的英年早逝奪去了數學和科學的一位天才領袖和雄辯的代言人，也剝奪了整個年輕一代領略20世紀最具才情的天才的機會。
此文是2014年作者在Eitan Tadmor教授60歲生日晚會上的主旨發言。
作者簡介：Peter Lax，匈牙利裔美國數學家。阿貝爾獎獲得者。
譯者簡介：張智民，美國韋恩州立大學數學系教授，北京計算科學研究中心講座教授，本刊編委。
本文經授權轉載自微信公衆号“數學文化”。
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