需要齊次坐标的原因之一

需要齊次坐标的原因：

在歐幾裡得幾何空間裡，兩條平行線永遠都不會相交。但是在投影空間中，兩條鐵軌在地平線處卻是會相交的，因為在無限遠處它們看起來相交于一點。

在歐幾裡得（或稱笛卡爾）空間裡描述2D/3D 幾何物體是很理想的，但在投影空間裡面卻并不見得。 我們用 (x, y) 表示笛卡爾空間中的一個 2D 點，而處于無限遠處的點 (∞,∞) 在笛卡爾空間裡是沒有意義的。投影空間裡的兩條平行線會在無限遠處相交于一點，但笛卡爾空間裡面無法搞定這個問題（因為無限遠處的點在笛卡爾空間裡是沒有意義的）。

由 August Ferdinand Möbius 提出的齊次坐标（Homogeneous coordinates）讓我們能夠在投影空間裡進行圖像和幾何處理，齊次坐标用 N + 1個分量來描述 N 維坐标。比如，2D 齊次坐标是在笛卡爾坐标(X, Y)的基礎上增加一個新分量 w，變成(x, y, w)，其中笛卡爾坐标系中的大X，Y 與齊次坐标中的小x，y有如下對應關系：

X = x/w

Y = y/w

笛卡爾坐标中的點 (1, 2) 在齊次坐标中就是 (1, 2, 1) 。如果這點移動到無限遠(∞,∞)處，在齊次坐标中就是 (1, 2, 0) ，這樣我們就避免了用沒意義的"∞" 來描述無限遠處的點。

證明: 兩平行線可以相交

笛卡爾坐标系中，對于如下兩個直線方程：

如果 C ≠ D，以上方程組無解；如果 C = D，那這兩條線就是同一條線了。