2021年11月30日， Nature刊發了谷歌量子計算機團隊實作時間晶體實驗的研究，将這一新領域再掀波瀾。時間晶體是2012年由理論實體學家、諾貝爾實體學獎得主維爾切克提出的一種新物質形态。随着研究人員的不斷深入探索，時間晶體的理論與實驗均發生了巨大的改變。在理論方面，實體學家對最初提出的量子時間晶體概念進行了“圍攻”，後來提出了離散時間晶體的新概念。而在實驗方面，多項表明實作離散時間晶體實驗遭到争議，其實驗呈現方式并非與理論概念吻合。在短短不到10年間，關于時間晶體的研究在各方團隊的質疑中迅速發展。在本文中，我們将見證實體學家如何突破自身局限探索人類知識的邊界。
撰文 | 郭啟淏（南方科技大學）、尹璋琦（北京理工大學）
前言：近年來，量子計算實驗技術的發展為人類利用量子優越性加速資訊處理和研究複雜量子實體系統帶來了無限可能。基于超導電路和光學系統，人們已在不同問題上展示了量子計算系統對經典計算機的優越性。與此同時，在量子計算機上進行的量子模拟，為實體學家研究新奇量子物态和拓撲材料開辟了新的道路。凝聚态實體學家得以打破紙面、數值模拟乃至現有材料的限制，探索更天馬行空的的實體概念。時間晶體，就是最近一個影響巨大的例子。本文将從時間晶體的來由講起，着重介紹多體局域化保護的離散時間晶體和實驗發展，及有關的激烈論戰，希冀讀者了解離散時間晶體理論，以及基于量子計算機的量子模拟。
2012-2015：否定之否定
時間晶體這一奇特的概念，源自諾貝爾實體學獎得主弗蘭克·維爾切克（Frank Wilczek）2012年提出的一個大膽設問：是否存在一種物質，當其處于基态附近時，在時間次元上會自發出現周期性變化，就像空間晶體在空間次元上自發出現周期性重複一樣。更為确切地說, 生活中常見的晶體源于衆多原子發生空間連續平移對稱性自發破缺，進而形成空間離散平移對稱的自組織結構。與其類似，維爾切克最初定義的時間晶體，則是在一個不含時系統，其基态發生的時間連續平移對稱性破缺，進而使其狀态及可觀測量發生周期性變化的時間自組織結構[1, 2]。
圖1 時間晶體概念示意圖：離子形成的魏格納環晶體，當其處于基态時，離子依然保持轉動，這一空間-時間都平移對稱的體系稱為空間-時間晶體。丨來源：李統藏博士、張翔教授實驗組
沿着這條思路，維爾切克及其合作者分别提出了經典時間晶體和量子時間晶體的模型[1, 2]，同時加州大學伯克利分校的李統藏、張翔等人也提出了基于離子阱的量子時空晶體理論[3]。與經典時間晶體模型不同的是，量子時間晶體一問世即遭各家實體高手圍攻，前有法國萊布尼茨獎得主帕特裡克·布魯諾 （Patrick Bruno），他指出維爾切克的量子時間晶體模型與李統藏等人的量子時空晶體理論在有限溫情況下不能成立[4]，他稱之為時間晶體的“不存在定理”；後有日本凝聚态實體理論專家渡邊悠樹（Haruki Watanabe）等，他們從時間次元上的長程式出發，證明了有限溫平衡态情況下，隻具有短程互相作用的多體實體系統，在熱力學極限下不存在量子時間晶體[5]。僅僅誕生數年，時間晶體這一優美的實體模型，似乎就要被各家嚴謹的分析論證徹底否定了，但優美的模型總是冥冥之中被垂愛着的。盡管渡邊悠樹等人否定了能夠在平衡态實體系統中找到量子時間晶體，但其論證無法否定受到周期性調制的非平衡态系統中量子時間晶體存在的可能性[5]。基于此，一種被稱為離散時間晶體的模型被發明了出來，并在随後的幾年以驚人的速度蓬勃發展。
2015-2018：走向現實
盡管破缺連續時間平移對稱性的量子時間晶體模型遭遇了極多困難，但自2015年克裡斯托弗·薩查（Krzysztof Sacha）第一次明确地引入離散時間對稱性自發破缺這一概念以來[6]，離散時間晶體理論的發展呈現一片欣欣向榮。以諾曼·姚（Norman Y.Yao，2019年美國實體學會瓦利獎得主）、維迪卡·凱曼尼（Vedika Khemani，2020年美國實體學會瓦利獎得主）以及多米尼克·埃爾斯（Dominic V. Else）為代表的凝聚态科學家，從不同角度出發，最終完成了自旋系統中離散量子時間晶體模型的建構。
在介紹他們理論之前，我們先聊聊對稱性自發破缺，它是指大自然從一個實體系統所有允許的運動方程的解中特意挑選一些性質特殊的解。此時盡管實體系統本身的拉氏量（哈密頓量）具有某些對稱性，但系統運動狀态及可觀測量的行為卻具有更小的對稱性。具體到離散時間晶體而言，在周期性驅動（弗洛凱）系統中，系統哈密頓量具有以 為時間周期的離散時間平移對稱性，然而，離散時間晶體的可觀測量卻呈現為 為周期平移對稱結構（為大于1的正整數），我們稱之為“倍周期”行為。不僅如此，這個“倍周期”行為是穩定的，面對多體系統的子系統熱化、驅動周期的擾動、互相作用強度的擾動等，離散時間晶體總能保持其特立獨行的動力學[7, 8]。
圖2 離散時間晶體概念示意圖：一維1/2自旋鍊構成的時間晶體。系統的哈密頓量具有以時間T為周期的離散時間平移對稱性，使得T時間自旋鍊完全翻轉。是以可觀測量具有2T的離散時間平移對稱性。丨來源：Physics World
盡管周期性驅動系統當中可能存在量子時間晶體這一猜想早在2015年就已埋下伏筆[5]，一個棘手的問題卻一直橫亘在該方向的科學工作者面前：帶有驅動的互相作用多體自旋系統，大多服從熱本征态假設，在演化過程中迅速地發生子系統熱化并被加熱到無限溫态，以至于無法觀測到穩定的離散時間平移對稱性破缺現象[8, 9]。是以，長期關注可以規避量子熱化的多體局域化理論的諾曼·姚[7]，研究驅動自旋系統相結構的維迪卡·凱曼尼[10]，和研究對稱性保護拓撲相的多米尼克·埃爾斯[11]自然成為了這一領域的領跑者。他們都将注意力轉向了一類帶有多體局域化性質的驅動伊辛自旋鍊，單個周期T内驅動過程分為施加帶有失序的自旋1/2縱場伊辛模型和與之反對易的泡利X翻轉算符構成。由于該模型與一種具有馬約納拉π模的拓撲物相之間存在對應，這一模型又被稱為π-自旋玻璃[8]。對于制備在直積态上的自旋鍊而言，我們可以發現，盡管弗洛凱演化算符具有T為周期的時間平移對稱性，系統的每一個格點的磁化率，卻總是在2T後才能回到初始狀态，這也意味着這個系統的确發生了離散時間平移性對稱性破缺。此外，該模型還具有良好的性質：除了失序的縱場伊辛模型自身對互相作用擾動的容忍外，由于湧現的Z2對稱性的存在，該模型還容許在翻轉算符X的強度上有一定偏差。許多工作分析了該系統的長時間動力學與熱力學性質[7-13]，上述理論工作表明：一個可以實作的離散時間晶體模型似乎已經被找到。
圖3 離散時間晶體實驗圖，離子阱、金剛石色心系統和核磁共振系統。圖上層：利用雷射囚禁的镱離子，金剛石中的随機雜質和磷酸二氫铵晶體。中層：離散時間晶體磁化率的動力學。下層：離散時間晶體的次頻響應特征（即“倍周期”特性）。丨來源：A Brief History of Time Crystal
在實驗平台上檢驗此理論自然就水到渠成了。如圖3所示，2017-2018年兩年間，來自馬裡蘭大學的離子阱實驗團隊[14]、哈佛大學的金剛石色心實驗團隊 [15]和耶魯大學的核磁共振量子平台團隊[16]分别在《自然》、《實體評論快報》等頂尖刊物上報道了他們實作離散時間晶體并觀察其 “倍周期”行為的工作。這一消息不僅使得學界振奮，大衆媒體也争相報道。但是在一派熱鬧氣氛下，學界的争議卻并未停止，甚至在随後的時間裡引發了更大的波瀾。
2018-2021: 風波再起
離散時間晶體實驗出現後，最主要的質疑是：這些被制造出來的離散時間晶體，是否真的是性質良好、永不熱化的多體局域化時間晶體，還是其中摻雜了其他的動力學機制[8]？
金剛石色心實驗與核磁共振實驗存在的問題最為突出。在金剛石色心實驗中，盡管具有較強的失序，但是其互相作用形式——三維長程偶極互相作用——與多體局域化并不相容。實驗組也承認這是一種最終還會熱化的“臨界時間晶體” [17]。核磁共振實驗則完全沒有失序，是以不屬于多體局域化保護的離散時間晶體。維迪卡·凱曼尼與其博士導師希瓦吉·桑迪提出，核磁共振版本的時間晶體基于一種被稱為“預熱化”的機制[8, 9]。在預熱化系統中由于存在一些對稱性和準守恒可觀測量[9, 18-20]，其熱化過程将會被抑制，是以提供了可以觀察離散時間晶體行為的視窗時間。但預熱化系統存在種種限制，比如預熱化機制隻能保護一些接近系統基态的低溫态的動力學，隻能保護系統在指數時間内不完全熱化等，較之近乎永不熱化的多體局域化系統仍顯平庸。打個比方來說，如果說多體局域化系統是度過天劫永生不滅的金仙，那預熱化系統隻算是剛剛結出元嬰，比一般量子系統活得長些而已。維迪卡·凱曼尼與希瓦吉·桑迪還提出了檢驗預熱化離散時間晶體性質的方案。其中不少論斷被馬裡蘭大學的離子阱實驗團隊在預熱化離散時間晶體的實驗中證明，該工作随後發表在《科學》雜志上[20]。筆者也與中國科學技術大學朱曉波老師團隊，在超導系統上完成了類似的弗洛凱預熱化機制的實驗 [21]。
随後，争論的焦點就轉移到了離子阱版本的離散時間晶體上，由于具有失序和多體局域化相容的互相作用形式，該工作曾被一度認為是首個多體局域化離散時間晶體工作。但是由于該實驗的模型在數值試驗中展現出初态依賴性，以及實驗中自旋鍊長度較短（隻有10個），支援多體局域化的證據并不充分。2021年9月1日，維迪卡·凱曼尼等人正式向諾曼·姚等人發難[22]，從有效哈密頓量形式、尺寸效應和邊界條件等數個問題質疑姚等人的理論模型。維迪卡·凱曼尼等人指出，此前離子阱上的實驗雖然具有多體局域化必需的失序，但是其單格點上的失序并不能在弗洛凱動力學中扮演阻止其熱化的角色。他們通過對兩周期演化算符分析，發現可以通過反對易關系精确地消除有效哈密頓量中的失序，是以該系統在演化過程中并不能産生弗洛凱多體局域化的效果[8, 22]。是以，離子阱上的實驗也可以被視作一個預熱化機制保護的離散時間晶體。維迪卡·凱曼尼等人也列出了他們數值結果，根據離子阱上的實驗設計，該離散時間晶體并不能周遊所有直積态，對于一些高溫态，系統會在數十個弗洛凱周期中迅速熱化，令人無法觀察到穩定的離散時間晶體動力學。此外，由于有限尺寸和邊界效應的存在，該實驗還存在一些漏洞。維迪卡·凱曼尼等人還指出了在諾曼·姚等人模型基礎上實作多體局域化離散時間晶體的條件，即互相作用強度也須具有較大的失序，這樣才不會出現有效哈密頓量中沒有失序的情況。
兩周後的9月15日，諾曼·姚等人做出了回應[23]，他們把維迪卡·凱曼尼等人的模型稱為KMS（Khemani-Moessner-Sondhi）模型，将自己的模型稱為YPPV（
Yao-Potter-Potirniche-Vishwanath）模型。諾曼·姚等人通過數值實驗展示了對于足夠小的可積性破壞橫場，他們的系統确實可以使任意直積态保持振蕩。但是諾曼·姚等人也承認，對一些“搗蛋”的初态，他們模型的周期性振蕩振幅會比較小。進一步地，通過有限尺寸的外推和對邊界條件的分析，姚等人堅持他們的觀點，他們的離散時間晶體實驗并不是僅僅由于預熱化效應所造成的，而是确實是具有量子多體效應參與的。在2021年早些時期，諾曼·姚等人在金剛石色心系統上又設計了一種多體局域化離散時間晶體的實驗[24]，實驗現象顯示無初态依賴，并且能夠維持800個弗洛凱周期以上，較離子阱的實驗更具有說服力。
綜合上述質疑與答複，筆者認為，諾曼·姚等人的模型并沒有完全展示真正的多體局域化離散時間晶體行為，但是衆多現象也顯示了此系統的确有一部分量子多體效應參與。這場學術角鬥誰赢誰輸，還沒有到可以下定論的時候。
利用數字量子模拟中制造多體局域化時間晶體
其實在2020年6月，維迪卡·凱曼尼和希瓦吉·桑迪等人已在預印本網站arXiv上挂出來，他們打算在谷歌超導量子處理器懸鈴木上實作多體局域化離散時間晶體的方案[25]。一年以後，谷歌團隊以KMS模型為基礎實作了離散時間晶體，2021年11月30日《自然》雜志線上發表此工作[26]。該實驗相較之前的所有離散時間晶體方案來說具有很大的進步。
首先是自旋鍊的長度：谷歌團隊使用了鍊狀的20個超導比特實作時間晶體，進而真正進入了量子多體系統區域，使得尺寸效應和邊界效應的影響足夠小。其次，完全使用數字量子模拟來實作多體局域化時間晶體的哈密頓量，即完全使用量子門電路“拼”出來想要的哈密頓量。這比之前使用量子比特之間原生互相作用的類比量子模拟方案，具有更大的可操控性，但是其實作更為困難。在谷歌的實驗中，他們使用單比特門和兩比特的費米子模拟門來實作多體局域化時間晶體的哈密頓量。為避免預熱化機制的幹擾，谷歌團隊對完全極化的初态，尼爾态以及随機的二進制字元串态都進行了實驗。實驗結果顯示，他們的系統不僅展示出了離散時間晶體的“倍周期”動力學，也确實滿足弗洛凱多體局域化不依賴于初态的特性。此外，他們還測量一個新的可觀測量——自旋玻璃序參量[25, 26]，這個序參量的随着系統尺寸的行為展示了其确實滿足 -自旋玻璃特性。是以該實驗從方案設計上的确是目前最為滿足多體局域化離散時間晶體要求的。利用輔助比特測量自旋時間關聯函數的方法也較之前的實驗更嚴謹。
圖4 谷歌時間晶體實驗示意圖。(a)：制造離散時間晶體的過程，将系統初态制備到二進制字元串态。通過數字量子模拟方法，用量子門電路模拟離散時間晶體的哈密頓量，并在結束時讀取其Pauli-z算符的期望。(b)：對于不同初态和失序取平均的離散時間晶體動力學。(c)：熱化系統的行為和多體局域化離散時間晶體行為的對比。(d)：通過回聲線路進行降噪後獲得的無退相幹影響的離散時間晶體動力學。丨來源：谷歌離散時間晶體預印本Observation of Time-Crystalline Eigenstate Order on a Quantum Processor
該實驗也展示出谷歌超導量子計算團隊優秀的技術能力。在實驗前，谷歌團隊對費米子模拟門進行了精細地交叉熵基準測試和弗洛凱校對。并且在實驗後通過回聲線路進行降噪處理，極大降低了實驗中超導量子比特退相幹帶來影響，使得實驗資料更為漂亮。需要指出的是，大陸量子計算實驗團隊也做出了自己的貢獻——北京量子資訊科學研究院于海峰團隊在超導比特系統上，通過類比量子模拟成功實作了基于YPPV模型的離散時間晶體[27]；浙江大學王浩華團隊實作了一類基于對稱性保護拓撲态的邊界時間晶體[28]。除此之外，還有不少離散時間晶體模型等待進一步發掘，諸如經典預熱化離散時間晶體[29, 30]、基于元胞自動機的離散時間晶體[31]， 等等。離散時間晶體從奇思妙想一步步演變為嚴謹周密的實體模型，對量子模拟和新穎量子物質領域影響巨大，并促使凝聚态理論實體學家和量子實體實驗科學家聯起手來，探索更多有趣的人造物态。
未來可期
2021年9月，諾曼·姚、維迪卡·凱曼尼、多米尼克·埃爾斯和渡邊悠樹四位理論科學家共同獲得“科學突破獎”，标志着離散時間晶體這一新領域獲得了更廣泛的認可。2021年底，谷歌量子計算團隊所實作的離散時間晶體實驗，被美國實體學會（APS）Physics和英國實體學會（IOP）Physics World評為年度實體學突破之一。對離散時間晶體的研究，重新整理了人們對了周期性驅動系統、多體局域化、預熱化以及量子熱化過程等領域的了解，并促使更多不同領域的科研工作者投身其中。從離散時間晶體的發展過程可以看出，科學探索在大多數時候都不是一番風順的，需要否定之否定，以及學術上針鋒相對的論戰。在科學探索中，有創見的錯誤比平庸的正确更有價值，因為錯誤中可能孕育着新的思想。時間晶體正好趕上了量子計算技術突飛猛進，才得以在短時間内獲得迅猛發展而非被埋沒。這引發我們深思：理論和實驗應當如何看待彼此，應該如何合作，才能推動一個科學領域不斷前行？
參考文獻
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