正态分布與中心極限定理

正态分布

定義

正态分布（英語：normal distribution）又名高斯分布（英語：Gaussian distribution），是一個非常常見的連續機率分布。正态分布在統計學上十分重要，經常用在自然和社會科學來代表一個不明的随機變量。

也就是說，正态分布一種分布形式，它實際上有很多表示形式，最常見的有機率密度函數，累計分布函數等等來表示。

在OI界出過的也僅有機率密度函數因為其他的我沒聽說過

機率密度公式

設期望為$\mu$，方差為$\sigma$

則有$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e ^ {-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$

$f(x)$表示該點出現的機率

如果一個随機變量$X$服從這個分布，我們寫作$X \sim N(\mu, \sigma)$

特殊的，如果$\mu = 0, \sigma = 1$，這個分布被稱為标準正态分布

中心極限定理

簡介

中心極限定理是機率論中的一組定理。中心極限定理說明，在适當的條件下，大量互相獨立随機變量的均值經适當标準化後依分布收斂于正态分布。這組定理是數理統計學和誤差分析的理論基礎，指出了大量随機變量之和近似服從正态分布的條件。

關于中心極限定理，有很多延伸版本，它們大都證明了某一種實驗以某一種正态分布為極限，具體也沒啥多大的用處，想學的自己維基吧qwq

推論

中心極限定理有一個非常重要的推論。

若有$N$個獨立同分布的随機變量$x_1, x_2, \dots, x_n$

期望為$\mu$，方差為$\sigma$

那麼設

$$Y_n = \frac{\sum_{i = 1}^n x_i - n\mu}{\sqrt{n \sigma^2}}$$

當$n$足夠大時，我們認為$Y_n$服從标準正态分布

這玩意兒有什麼用呢？

比如說我們要對某個$f(x)$進行積分，它可能會造成非常大的精度誤差

轉成标準正态分布可以有效的降低誤差

具體做法是：首先對我們要積分的區間$(L, R)$進行轉化，再對轉化出來的兩個$Y_n$對應的區間積分

具體示例

作者：自為風月馬前卒

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出處：http://zwfymqz.cnblogs.com/

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