超幾何分布與二項分布及其期望

驚奇的發現選修2-3上有期望的介紹，不過我沒有課本啊qwq。隻能去網上找資料了。。

這兩節我感覺比較有意思，就記一下吧

超幾何分布

名字真高大上

定義

超幾何分布(Hypergeometric distribution)是統計學上一種離散機率分布。它描述了由有限個物件中抽出$n$個物件，成功抽出指定種類的物件的個數（不歸還 (without replacement)）。

舉個例子：

$N$個物品中有$M$個是不合格的，超幾何分布描述了在這$N$個樣本中選$n$個，其中有$k$個是不合格的機率

$$P(x = k) = \frac{C_M^k C_{N - M}^{n - k}}{C_N^n}$$

若随機變量$X$服從參數為$n, M, N$的超幾何分布，則記為$$x \sim H(n, M, N)$$

期望

$E(x) = \frac{nM}{N}$

證明(前方高能)：

前置定理：

1. $k * C_M^k = M * C_{M - 1}^{k - 1}$

2. $\sum_{k = 0}^m C_M^k C_{N - M}^{n - k} = C_N^n$

推導過程

\begin{aligned}

E(x) &= \sum_{k = 0}^m k * \frac{C_M^k * C_{N - M}^{n - k}}{C_N^n} \\

&=\frac{1}{C_N^n} \sum_{k = 0}^m k C_M^K * C_{N - M}^{n - k}\\

&=\frac{1}{C_N^n} \sum_{k = 1}^m M C_{M - 1}^{k - 1} C_{N - M}^{n - k}\\

&=\frac{M}{C_N^n} \sum_{k = 1}^m C_{M - 1}^{k - 1}C_{N - M}^{n - k}\\

&=\frac{M}{C_N^n} C_{N - 1}^{n - 1} \\

&=\frac{nM}{N}

\end{aligned}

方差

$$D(x) = {n(\frac{M}{N})(1-\frac{M}{N})(N-n) \over (N-1)}$$

二項分布

在機率論和統計學中，二項分布（Binomial distribution）是$n$個獨立的是/非試驗中成功的次數的離散機率分布，其中每次試驗的成功機率為$p$。這樣的單次成功/失敗試驗又稱為伯努利試驗。

實際上，當$n = 1$時，二項分布就是伯努利分布。

一般地，如果随機變量$X$服從參數$n$和$p$的二項分布，我們記$x \sim b(n, p)$或$X \sim B(n, p)$.$n$次試驗中正好得到$k$次成功的機率為

$f(x;n,p) = P(x = k) C_n^k \ p^k \ (1-p)^{n- k}$

$E(x) = np$

證明

這不是很顯然的麼qwq。

$n$次試驗均為獨立的，每次試驗的成功率為$p$

根據期望的線性性$E(x) = E(x_1) + E(x_2) + \dots E(x_n) = np$

如果你想找刺激的話可以繼續往下看

$$P(X=k) = {n\choose k}p^kq^{n-k}, k = 0,1,2,..,n,q = 1-p\\$$

EX &= \sum_{k=0}^n k {n\choose k}p^kq^{n-k} \\

&= \sum_{k=1}^n k {n\choose k}p^kq^{n-k} \\

&= \sum_{k=1}^n k {\frac{n!}{k!(n-k)!}}p^kq^{n-k} \\

&= np\sum_{k=1}^n {\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)} \\

&= np\sum_{k=1}^n{n-1\choose k-1}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)}\\

&= np[{n-1\choose 0}p^0q^{n-1}+{n-1\choose 1}p^1q^{n-2}+...+{n-1\choose n-1}p^{n-1}q^0] \\

&= np

最後一步可以由二項式定理推得

$$D(x) = np(1 - p)$$

參考資料

維基百科—超幾何分布

維基百科—二項分布

二項分布的期望方差證明

作者：自為風月馬前卒

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出處：http://zwfymqz.cnblogs.com/

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