瞎做積分題筆記

瞎找題系列1

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花了半個下午+半個晚上做完了，發現其實一直做腦筋急轉彎就好了。

這裡記錄點轉了蠻久彎才做出來的題吧。

首先來自己感覺蠻有用的:

• 遇式不決，分式分解。

T35

\[\begin{aligned}

\int&\frac{1-\ln x}{(x-\ln x)^2}\ dx\\

=\int&\frac{1}{(1 - \frac {\ln x}x)^2}\frac{1-\ln x}{x^2}\ dx\\

\begin{equation}

\xlongequal{t=\frac{\ln x}x - 1}

\end{equation}&\int\frac1{t^2}\ dt\\

=&-\frac1t+C\\

=&\frac{x}{x-\ln x}+C

\end{aligned}

\]

T58

&\int\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}\ dx\\

=&\int1-\frac2{\sqrt{x+1}+1}\ dx\\

\xlongequal{t=\sqrt{x+1}+1}

\end{equation}&x-\int\frac2t d(t^2-2t)+C\\

=&x-\int\frac{4t-4}t\ dt+C\\

=&x-4\sqrt{x+1}+4\ln(\sqrt{x+1}+1)+C

T68

&\int\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\ dx\\

=&\int1-\frac{1}{1+\tan x}\ dx\\

\begin{equation}\xlongequal{t=\tan x}\end{equation}&x-\int\frac1{1+t}\ d\arctan t+C\\

=&x-\int\frac1{(1+t)(1+t^2)}\ dt+C\\

=&x-\frac12\int(\frac1{1+t}-\frac{t-1}{1+t^2})\ dt+C\\

=&x-\frac12\ln|1+\tan x|+\frac14\ln(\tan^2x+1)-\frac12x+C\\

=&\frac12(x-\ln|1+\tan x|+\frac12\ln(\tan^2x+1))+C\\