Bruno Zumino, "Normal Forms of Complex Matrices", Journal of Mathematical Physics 3, 1055 (1962)

有了 Gantmacher 的書（前兩篇随筆摘錄的内容），Bruno Zumino 的這篇文章很容易 follow，矩陣部分的數學可能個把兩個小時就跟着推完了。還有一點關于量子場論的内容，我看不懂，暫時也不需要。

網上查了一下，Bruno Zumino 是超弦理論的提出者之一！沒想到和這麼重要的人面對同樣的數學問題，看來即使是大人物，也得認認真真推這些東西，公式面前人人是平等的。沒有人可以和一個定理争論。

1. 兩個引理

1.1 引理一：任意幺正、反對稱複矩陣 \(S = U F U^\top\)，\(U\) 為幺正陣，\(F = \{ [\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}], [\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}], \cdots \}\)

證明：

• 因為 \(S\) 幺正，是以 \(S^{-1} = S^\dagger\)，而 \(S^\top = - S\)，是以 \(S^{-1} = S^\dagger = - S^*\)，\(S\) 與 \(S^*\) 對易。
• 是以 \(A_1 = S + S^*, A_2 = i(S- S^*)\) 是互相對易的反對稱實數矩陣，是以可以通過同一套正交歸一基變換為反對稱正則形式。
• \(S = \frac{1}{2}( i A_1 + A_2 )\)，是以\(S\)也變換為反對稱正則形式，隻是變換之後矩陣元是複數。
• 另外，因為 \(S\) 還是幺正的，是以，可以通過計算表明，它變換為反對稱正則形式以後，矩陣元模為1：

\[S = Q \{ [\begin{smallmatrix} 0 & -e^{i\alpha} \\ e^{i\alpha} & 0 \end{smallmatrix}], \cdots, \} Q^\top

\]

• 是以可以再構造一個幺正矩陣\(V = V^\top = \{ e^{i\alpha/2}, e^{i\alpha/2}, \cdots, \}\)，得到 \(S = QVFV^\top Q^\top\)，命題得證。

  是以，這裡使用了 Gantmacher 書上關于對易正規實矩陣的定理，得到 \(Q\) 這個實正交變換，然後再通過幺正性，得到一個複對角正交變換 \(V\)，得到 \(U = QV\)，進而證明引理。

1.2 引理二：任意幺正、對稱複矩陣 \(S = U U^\top\)，\(U\) 為幺正矩陣

上一篇随筆裡有個定理，任意幺正對稱複矩陣 \(S = e^{i \eta}\)，\(\eta\) 為實對稱矩陣，是以 \(U = e^{i\eta/2}\) 即可。

2. 三個定理

2.1 定理1：任意反對稱複矩陣 \(M = U X U^\top\)，其中 \(U\) 為幺正矩陣，\(X\) 為正則形式反對稱實矩陣：\(\{ [\begin{smallmatrix} 0 & -\mu \\ \mu & 0 \end{smallmatrix}], \cdots, \}\) 且所有 \(\mu >=0\)。

2.2 定理2: 任意對稱複矩陣 \(M = U X U^\top\)，其中 \(U\) 為幺正矩陣，\(X\) 為對角實矩陣：\(\{ e_1, e_2, \cdots, \}\) 且所有 \(e >=0\)。

證明：構造 \(H = M^\dagger M = \mp M^* M\)，\(\mp\) 對應定理1和定理2兩種情況。它是厄米、半正定的，是以一定可以通過幺正變換進行實對角化：\(\mp V M^* M V^\dagger = H_d\)，\(H_d\)是半正定的。定義 \(M_1 = V^* M V^\dagger\)，則 \(M^\top_1 = \mp M_1\)，且有 \(\mp V M^* M V^\dagger = \mp M^*_1 M_1 = M^\dagger_1 M_1 = H_d = H_d^* = \mp M_1 M^*_1\)，那麼，\(M_1 H_d = H_d M_1\)。

是以有 \((M_1)_{ik} d_k = d_i (M_1)_{ik}\)，對于 \(d_i \neq d_k\)得到 \((M_1)_{ik} =0\)，對于 \(d_i = d_k\)，可以得到 \(M_1\) 中的反對稱子矩陣 \(\Psi\)，有 \(\Psi ^\dagger \Psi = d_i E\)，稍作處理即得反對稱/對稱幺正矩陣 \(d^{-1/2}_i \Psi\) ，根據引理1，引理2可得 \(d^{-1/2}_i \Psi = U F U^\top\)，即 \(\Psi = U (d^{1/2}_i F) U\)， 或者 \(d^{-1/2}_i \Psi = U U^\top\)，即 \(\Psi = U (d^{1/2}_i E) U\)。再把 \(V\) 變換乘上，定理1，定理2得到證明。

這個技巧很值得學習，先通過 \(M^\dagger M\) 構造厄米矩陣，得到對角形式，然後再通過 \(M_1 H_d = H_d M_1\) 得到 \(M_1\) 結構的讨論。

2.3 定理3: 任意複矩陣 \(M = UXV\)，\(U,V\)為幺正矩陣，\(X\)是實對角半正定陣。

證明：因為 \(M^\dagger M\) 是厄米、半正定的，是以有 \(M^\dagger M = S H_d S^\dagger\)，記 \((M^\dagger M)^{-1/2} = S H^{-1/2}_d S^\dagger\)，則有 \((M^\dagger M)^{-1/2} M^\dagger\) 是幺正的。

另外，\(M(M^\dagger M)^{-1/2} M^\dagger\) 是厄米、半正定的，是以存在 \(U\)，使得 \(U^\dagger M(M^\dagger M)^{-1/2} M^\dagger U=X\) 是實對角半正定陣。取 \(V^\dagger = (M^\dagger M)^{-1/2} M^\dagger U\)，即得

\[U X V = M,

2.4 如果有 \(d_i = d_k = 0\)，上面的論斷是有漏洞的。Zumino說，可以給 \(M\) 加一個微擾，通過微擾也可以給出證明。