正題
題目連結:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1556F
題目大意
\(n\)個點的一張競賽圖，每個點有一個權值\(a_i\)，\((i,j)\)之間的邊\(i\)連\(j\)的機率是\(\frac{a_i}{a_i+a_j}\)，否則\(j\)連\(i\)。
現在期望有多少個點能走到全圖的任意一個點。
\(1\leq n\leq 14,1\leq a_i\leq 10^6\)
解題思路
考慮狀壓\(dp\)，首先枚舉起點\(p\)，設\(f_{S}\)表示目前隻考慮了點集\(S\)且\(p\)都能到達。
那麼對于點集\(S\)是任意一張圖的機率是\(1\)，然後考慮枚舉一個\(p\)能到達的集合\(T\)之後其他點\(p\)都不能到達，為了友善表示下面記\(g_{S,T}\)表示點集\(S\)和\(T\)之間的邊都是\(S\)指向\(T\)的機率那麼有
\[1=\sum_{T\subseteq S}f_T\times g_{S-T,T}
\]
\[\Rightarrow f_S=1-\sum_{T\subset S}f_T\times g_{S-T,T}
考慮如何預處理\(g_{S,T}\)，不難發現因為\(S\cap T=\varnothing\)是以這個狀态數是\(3^n\)的我們可以用三進制狀壓，不過得先預處理\(r_{p,S}\)表示\(p\)與集合\(S\)之間的邊都是\(p\)連向\(S\)的機率。
時間複雜度：\(O(3^nn+2^nn^2)\)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=14,M=2e6+10,P=1e9+7;
ll n,ans,inv[M],pw[N+1],a[N],r[N][1<<N],tr[1<<N],f[1<<N],g[4782969];
signed main()
{
inv[1]=1;
for(ll i=2;i<M;i++)inv[i]=P-(P/i)*inv[P%i]%P;
scanf("%lld",&n);
for(ll i=0;i<n;i++)
scanf("%lld",&a[i]);
ll MS=(1<<n);
for(ll p=0;p<n;p++){
r[p][0]=1;
for(ll s=0;s<MS;s++){
if((s>>p)&1)continue;
for(ll i=0;i<n;i++)
if((s>>i)&1){r[p][s]=r[p][s^(1<<i)]*a[p]%P*inv[a[p]+a[i]]%P;break;}
}
}
pw[0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++)pw[i]=pw[i-1]*3;
for(ll s=1;s<MS;s++)
for(ll i=0;i<n;i++)
if((s>>i)&1)tr[s]=tr[s^(1<<i)]+pw[i];
for(ll s=0;s<pw[n];s++)g[s]=1;
for(ll s=0;s<MS;s++)
for(ll i=0;i<n;i++){
if(!((s>>i)&1))continue;
for(ll t=s;t;t=(t-1)&s){
if((t>>i)&1)continue;
(g[tr[s]+tr[t]]*=r[i][t])%=P;
}
}
for(ll p=0;p<n;p++){
memset(f,0,sizeof(f));
for(ll s=0;s<MS;s++){
if(!((s>>p)&1))continue;f[s]=1;
for(ll t=(s-1)&s;t;t=(t-1)&s){
if(!((t>>p)&1))continue;
(f[s]+=P-f[t]*g[tr[s]+tr[t]]%P)%=P;
}
}
(ans+=f[MS-1])%=P;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}