2021牛客OI賽前集訓營-方格計數【計數,dp】

正題

題目連結:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/20107/B

題目大意

給出一個\(w\times h\)的網格圖，然後要求在上面選出\(n\)個格點，使得它們在一條直線上且兩兩之間距離不小于\(d\)。

\(1\leq T\leq 20,1\leq w,h,d\leq 500,1\leq n\leq 50\)

解題思路

先隻考慮橫豎和斜向右下的直線

顯然是枚舉直線更加迅速，可以枚舉一個斜率\(\frac{a}{b}\)，然後為了防止算重我們考慮起點也就是我們選擇的最第一個點，對于起點在\((0,0)\sim (w-ka,h-kb)\)的矩形内的點，右下角至少還有\(k\)個點可以選擇，我們可以枚舉這個\(k\)，然後暴力統計。這樣一次複雜度是\(O(min\{\frac{w}{a},\frac{h}{b}\})\)，類似于調和級數不是很大。

之後考慮統計選擇的方案，設\(f_{i,j,k}\)表示選擇的兩個之間要至少相隔\(i\)，有\(j\)個可以選，選擇\(k\)個的方案，這個可以直接\(dp\)。

就可以過了，時間複雜度：\(O(whn+Twh\log {wh})\)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=510,P=1e9+7;
ll T,n,w,h,D,ans,d[N][N];
int f[N][N][N];
signed main()
{
	scanf("%lld",&T);
	for(ll i=1;i<=500;i++)d[i][0]=d[0][i]=i;
	for(ll i=1;i<=500;i++)
		for(ll j=1;j<=i;j++)d[i][j]=d[j][i]=d[j][i%j];
	for(ll i=1;i<=500;i++){
		f[i][0][0]=1;
		for(ll j=1;j<=500;j++){
			for(ll k=0;k<=500;k++)f[i][j][k]=f[i][j-1][k];
			if(j>=i)
				for(ll k=1;k<=500;k++)
					(f[i][j][k]+=f[i][j-i][k-1])%=P;
		}
	}
	while(T--){
		scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&w,&h,&D);
		if(n==1){printf("%lld\n",(w+1)*(h+1)%P);continue;}
		ans=0;
		for(ll i=0;i<=w;i++)
			for(ll j=0;j<=h;j++){
				if(d[i][j]!=1)continue;
				ll k,last=0,ub=1;
				if(i!=0&&j!=0)ub=2;
				ll dis=ceil(D/sqrt(i*i+j*j));
				for(k=1;k;k++){
					if(k*i>w||k*j>h)break;
					ll L=w-k*i+1;ll R=h-k*j+1;
					(ans+=L*R%P*(1ll*(f[dis][k][n-1]-f[dis][k-1][n-1]))*ub%P)%=P;
				}
			}
		printf("%lld\n",(ans+P)%P);
	}
	return 0;
}