正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1556F
题目大意
\(n\)个点的一张竞赛图，每个点有一个权值\(a_i\)，\((i,j)\)之间的边\(i\)连\(j\)的概率是\(\frac{a_i}{a_i+a_j}\)，否则\(j\)连\(i\)。
现在期望有多少个点能走到全图的任意一个点。
\(1\leq n\leq 14,1\leq a_i\leq 10^6\)
解题思路
考虑状压\(dp\)，首先枚举起点\(p\)，设\(f_{S}\)表示目前只考虑了点集\(S\)且\(p\)都能到达。
那么对于点集\(S\)是任意一张图的概率是\(1\)，然后考虑枚举一个\(p\)能到达的集合\(T\)之后其他点\(p\)都不能到达，为了方便表示下面记\(g_{S,T}\)表示点集\(S\)和\(T\)之间的边都是\(S\)指向\(T\)的概率那么有
\[1=\sum_{T\subseteq S}f_T\times g_{S-T,T}
\]
\[\Rightarrow f_S=1-\sum_{T\subset S}f_T\times g_{S-T,T}
考虑如何预处理\(g_{S,T}\)，不难发现因为\(S\cap T=\varnothing\)所以这个状态数是\(3^n\)的我们可以用三进制状压，不过得先预处理\(r_{p,S}\)表示\(p\)与集合\(S\)之间的边都是\(p\)连向\(S\)的概率。
时间复杂度：\(O(3^nn+2^nn^2)\)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=14,M=2e6+10,P=1e9+7;
ll n,ans,inv[M],pw[N+1],a[N],r[N][1<<N],tr[1<<N],f[1<<N],g[4782969];
signed main()
{
inv[1]=1;
for(ll i=2;i<M;i++)inv[i]=P-(P/i)*inv[P%i]%P;
scanf("%lld",&n);
for(ll i=0;i<n;i++)
scanf("%lld",&a[i]);
ll MS=(1<<n);
for(ll p=0;p<n;p++){
r[p][0]=1;
for(ll s=0;s<MS;s++){
if((s>>p)&1)continue;
for(ll i=0;i<n;i++)
if((s>>i)&1){r[p][s]=r[p][s^(1<<i)]*a[p]%P*inv[a[p]+a[i]]%P;break;}
}
}
pw[0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++)pw[i]=pw[i-1]*3;
for(ll s=1;s<MS;s++)
for(ll i=0;i<n;i++)
if((s>>i)&1)tr[s]=tr[s^(1<<i)]+pw[i];
for(ll s=0;s<pw[n];s++)g[s]=1;
for(ll s=0;s<MS;s++)
for(ll i=0;i<n;i++){
if(!((s>>i)&1))continue;
for(ll t=s;t;t=(t-1)&s){
if((t>>i)&1)continue;
(g[tr[s]+tr[t]]*=r[i][t])%=P;
}
}
for(ll p=0;p<n;p++){
memset(f,0,sizeof(f));
for(ll s=0;s<MS;s++){
if(!((s>>p)&1))continue;f[s]=1;
for(ll t=(s-1)&s;t;t=(t-1)&s){
if(!((t>>p)&1))continue;
(f[s]+=P-f[t]*g[tr[s]+tr[t]]%P)%=P;
}
}
(ans+=f[MS-1])%=P;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}