實體定律不依賴于測量機關的選擇。量綱分析探讨這種不變性及其後果和應用。無綱量為機關變換下的不變量，實體規律最終必然隻能用無綱量表達。從一個問題中的實體變量可構造出的無綱量數要少于原始變量數，帶來簡化，構造的無綱量可更深刻反映實體量間的内在關系。量綱概念足夠深刻，但方法足夠簡單，應該是實體訓練的重要内容。文章闡述量綱分析的基本概念、原理及其應用，大部分内容來自文獻，着重讨論量綱制及其與機關制的關系，企圖厘正文獻中的一些混亂。特别指出，僅就量綱分析操作而言，可以隻用MLT量綱制。
撰文 | 鄭偉謀(中國科學院理論實體研究所)
來源 | 本文選自《實體》2021年第12期
實體定律的對稱性意味着實體定律在各種變換下的不變性。一個簡單原理是實體定律不依賴于測量機關的選擇。量綱是實體量不受機關變換而改變的品性，量綱分析探讨這種不變性及其後果和應用。一類特殊的實體量是無綱量，為機關變換下的不變量，實體規律最終必然隻能用無綱量表達。從一個問題中的實體變量可構造出的無綱量數要少于原始變量數，帶來簡化，而且，無綱量可更深刻反映實體量間的内在關系。
量綱分析方法是探讨科學規律、解決科學和工程問題的一個普适工具，非常值得學習和掌握。量綱分析既可以用于實驗設計和資料整理，也可以在求解問題前就對問題有個定量和定性的把握，且有助于加深對實體規律的認識。面對複雜問題時，建立數學模型可能非常困難，或者方程非常複雜難以求解，或者難以了解所得解的意義。有時需要做試驗，而實際尺寸很難在試驗條件中實作，必須縮小尺寸做模型試驗，必須滿足一定的相似條件，這種條件必須建立在量綱分析和相似論的基礎上。
量綱分析很難說是從何時開始的。Dimension一詞，1833年泊松首先使用，在此之前用齊次性homogeneity。1822年傅裡葉明确表述，實體定律應與機關無關，寫在其名著《熱的解析理論》(Analytical Theory of Heat)中[1]。這導緻一個重要結論：任何有意義的定律，對于每一個計量機關都必須是齊次方程式。很多科學大師如牛頓、歐拉和麥克斯韋等用量綱的概念處理問題。1871年瑞利關于天空藍色的解釋和後來對風中繩弦發聲的研究[2，3]，1883年雷諾關于雷諾數的工作，都是量綱分析的早期範例。量綱分析的正規形式為Π-定理：如果一個實體關系含有n個獨立變數與m個基本量綱，則它可用n-m個無量綱量表示。利用實體定律的量綱平衡(齊次)原理可确定各實體量之間的關系，進而從定性到半定量至定量地解決問題。未查到中文“量綱”的起源，“量綱分析”在日文中稱為“次元解析”。關于量綱分析的文獻很多，無法一一列舉，如中文書[4，5，6]，最近又出了一本[7]，布裡奇曼的英文書[8]是經典，稍晚的可舉[9]，書中有豐富的文獻和習題，還有[10]。
01
從一個故事和一個例子談起
02
量綱分析的基本概念和方法
2.1 量綱制、量綱表示矢量、量綱表示矩陣和Π-定理
實體學是一門高度定量化的學科。實體量離不開測量，測量給出實體量的值。各實體量間由定義或實體定律聯系，可選少數幾個實體量作為基本量，并為之規定基本量度機關，構成機關制。約定基本量不可能依基本實體定律彼此導出。此處特别将基本量集合稱為量綱制，不問其機關；機關制決定量綱制，但反之不然。其他實體量通過定義或基本實體定律作為導出量。量綱“意會”容易“言傳”難，基本量不依賴于其機關選擇的屬性是其量綱，如量綱之一長度，地球半徑的量綱是長度。標明基本量和機關制後，導出量的機關可用基本機關表出，這種表達式稱為導出量的量綱式，導出量與此相關的不依賴于機關選擇的屬性是其量綱，描述導出量與基本量間與量值無關的簡約關系。例如，在MLT量綱制有三個基本量：品質、長度和時間，對應的三個基本量綱分别記作品質M、長度L和時間T，如L不可能依基本實體定律由M和T導出，而速度v=dx/dt是導出量，是長度除以時間的結果，其量綱記
2.2 量綱分析的步驟
量綱分析的步驟如下：
第1步，選擇量綱制，列出問題所有的獨立關鍵參量，設共有n個；
第2步，确定所有n個參量的量綱；
第3步，确定量綱表示矩陣的秩m。往往從n個變量中适當選取m個量綱獨立的參考量綱量；
第4步，構造出l=n-m個不等價的無綱量πj。往往用m個參考量綱量，對餘下的l個參量逐一構造無綱量；
第5步，再次驗證所有無綱量的确無量綱，适當整理取某些無綱量的簡化組合，使之是科學界通用的已命名無綱量，通常讓每個待考察的原始變量隻出現在一個無綱量中，或友善于考察極限情形；
第6步，寫出問題最終的無綱量關系。在理想情形下，可表現為簡單的幂次形式，通常也稱之為标度律(scaling law)。
量綱分析的确有些技巧，量綱分析解決複雜問題往往給人一種神奇的美的享受，量綱分析的範例不少是科學大作。如何确定問題的關鍵實體量，涉及如何簡化問題，實體因素有哪些，孰輕孰重，需要有高深的科學修養、豐富的實體知識以及對問題的深刻了解，特别是對于新出現的科學問題。加進關系不大的多餘實體量，增加分析的複雜性，但丢失關鍵實體量導緻失敗，顯然不能解決問題。基本量綱量和參考量綱量的選擇有随意性，一種選擇會比另一種友善，無綱量的具體形式也可随之不同，但不同的無綱量組彼此等價，最終的無綱量數即實體問題的自由度是不變的。
03
應用例
定性思考和半定性實驗，力求對問題的性質和解的概貌有所估計，這種能力靠實體直覺和洞察力，靠經驗和功力，需要長期思考和培養。“學而不思則罔，思而不學則殆。”
3.1 證明勾股弦定理
04
量綱制的基本量個數
在CGS機關制或高斯機關制中基本機關隻有3個，在MKSA機關制中有4個，而在國際機關制SI中有7個。基本機關的個數，就是基本量綱量的個數。增加基本量綱量如引入溫度或電流，便于與力學過程相區分，分析熱學或電學過程所起的作用，但增加基本量綱量的個數，根據Π-定理，似乎将減少無綱量的數目。實體問題的自由度顯然不會因機關制的選擇而改變，增加基本量綱量一般也增加相關的實體量，如引入基本量溫度後需要相應引入有綱量玻爾茲曼常數，問題的自由度最終不變。僅就量綱分析操作而言，可以隻用MLT量綱
05
理論實體應用
06
有綱實體常數的壓縮與恢複
07
相似性理論和模型試驗
量綱分析可用于複雜問題，通常描述問題的方程未知，更不消說解，但量綱分析将問題歸結為少數無綱量的任意函數。工程技術領域中常用模拟試驗代替真實試驗如小模型風洞試驗，經濟又友善，且可超越實際限制。模型試驗包括用模型動物進行的醫學試驗。1868年，弗勞德 (W. Froude) 徹底改革船舶設計，提出弗勞德數(v2/gl)用以指導小模型試驗。他曾被嘲笑說，小模型也許帶來無窮的樂趣，但沒有任何實際意義，不過工程界最終轉變了态度。模型試驗的理論基礎是基于量綱分析的相似性理論。雖然量綱分析中出現的任意函數的具體形式未知，隻要保持無綱量不變，則模型的行為與原型等價。如果适當選取無綱量的組合，讓它們在原型中固定，則所涉及函數的自變量數可以減少，模型試驗可簡化。當然，此處的相似性未必是幾何相似性。隻有同量綱量可以比較，體系間的實體相似性由無綱量刻畫。另外，相對于描述問題的方程，定解條件如初條件和邊條件的相似性應該一并考慮。
08
标度律
狹義的标度律，通常表現為單項式。标度律，從嚴謹的量綱分析來看，是必要而未必充分，相當于簡化版的量綱分析。如果問題足夠簡單且有能力把握問題的關鍵量，使得無綱量隻有一個，此時标度律是确定的。從完整的量綱分析出發，再區分退化情形，得到标度律，才是穩妥的做法，可以參考前面關于飲料加冰冷卻的例子及流體中運動物體的阻力的例子讨論。标度律，幾何上對應于分形。标度律被用于描述各種複雜現象，如前面提到的代謝率與動物體重的克萊伯3/4次幂定律。
8.1 承重圓柱的标度律
09
結語
實體定律不依賴于測量機關的選擇，是最基本也最簡單的對稱性。實體規律最終必然隻能用無綱量表達，由此帶來獨立有效實體量數的約化即降低問題的自由度，且更深刻反映實體量間的内在關系。通過簡單分析一個問題中各實體量的量綱，可以給出問題的有效變量數目和可能形式，限制這些實體量間的某種可能關系。雖然量綱法不能預言明确的函數關系，但其結論也表現出與任何具體的函數形式無關的普适性。量綱分析方法是探讨科學規律、解決科學和工程問題的一個普适工具，非常值得學習和掌握。但十分奇怪的是，雖然量綱分析的原理極其簡單，如此重要的量綱分析方法，卻一般不在實體課程中系統講授。量綱分析的範例不少是科學大作。量綱法不能事先确定關鍵實體量是哪些，決定量綱分析成敗的，是如何确定問題的關鍵實體量，涉及如何簡化問題，實體因素有哪些，孰輕孰重，需要有高深的科學修養、豐富的實體知識以及對問題的深刻了解，特别是對于新出現的科學問題，如處理涉及生命的現象。一旦機關制确定，量綱制也确定，但反之不然。僅就量綱分析操作而言，可以隻用MLT量綱制。一個問題的有效變量數目和形式，不會因量綱制不同而有本質改變。量綱法屬于定性和半定量方法，許多實體人了解定性方法似乎是不得以而為之，其實數學上的定性方法回答有無，往往并非定量方法可比。量綱分析在各個領域均有應用，流體力學是傳統領域，生物醫學則是新興領域。本文的大部分内容隻是一些文獻的整理和總結，也企圖厘正文獻中的一些混亂。
參考文獻
[1] Fourier J B J. Analytical Theory of Heat. New York：Dover Pub.，1955
[2] 談慶明. 量綱分析. 合肥：中國科技大學出版社，2007
[3] 孫博華. 量綱分析與Lie群. 北京：高等教育出版社，2016
[4] 趙凱華. 定性與半定量實體學. 北京：高等教育出版社，2007
[5] 梁燦彬，曹周健. 量綱理論與應用. 北京：科學出版社，2020
[6] Rayleigh J S W，Strutt B J W. The Theory of Sound. MacMillan，1877
[7] Rayleigh J S W. Nature，1915，95：66
[8] Bridgman P W. Dimensional Analysis，2nd ed. New Haven：Yale University Press，1931
[9] White F M. Fluid Mechanics，4th ed：Ch. 5 Dimensional Analysisand Similarity. McGraw-Hill College，1998
[10] Sonin A A. The Physical Basis of Dimensional Analysis，2nd Ed. Cambridge：MIT，2001. http://web.mit.edu/2.25/www/pdf/DA unified.pdf
[11] Buckingham E. Phys. Rev.，1914，4：345
[12] West S G 著，張培 譯. 規模：複雜世界的簡單法則.中信出版集團，2018
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