物理定律不依赖于测量单位的选择。量纲分析探讨这种不变性及其后果和应用。无纲量为单位变换下的不变量，物理规律最终必然只能用无纲量表达。从一个问题中的物理变量可构造出的无纲量数要少于原始变量数，带来简化，构造的无纲量可更深刻反映物理量间的内在关系。量纲概念足够深刻，但方法足够简单，应该是物理训练的重要内容。文章阐述量纲分析的基本概念、原理及其应用，大部分内容来自文献，着重讨论量纲制及其与单位制的关系，企图厘正文献中的一些混乱。特别指出，仅就量纲分析操作而言，可以只用MLT量纲制。
撰文 | 郑伟谋(中国科学院理论物理研究所)
来源 | 本文选自《物理》2021年第12期
物理定律的对称性意味着物理定律在各种变换下的不变性。一个简单原理是物理定律不依赖于测量单位的选择。量纲是物理量不受单位变换而改变的品性，量纲分析探讨这种不变性及其后果和应用。一类特殊的物理量是无纲量，为单位变换下的不变量，物理规律最终必然只能用无纲量表达。从一个问题中的物理变量可构造出的无纲量数要少于原始变量数，带来简化，而且，无纲量可更深刻反映物理量间的内在关系。
量纲分析方法是探讨科学规律、解决科学和工程问题的一个普适工具，非常值得学习和掌握。量纲分析既可以用于实验设计和数据整理，也可以在求解问题前就对问题有个定量和定性的把握，且有助于加深对物理规律的认识。面对复杂问题时，建立数学模型可能非常困难，或者方程非常复杂难以求解，或者难以理解所得解的意义。有时需要做试验，而实际尺寸很难在试验条件中实现，必须缩小尺寸做模型试验，必须满足一定的相似条件，这种条件必须建立在量纲分析和相似论的基础上。
量纲分析很难说是从何时开始的。Dimension一词，1833年泊松首先使用，在此之前用齐次性homogeneity。1822年傅里叶明确表述，物理定律应与单位无关，写在其名著《热的解析理论》(Analytical Theory of Heat)中[1]。这导致一个重要结论：任何有意义的定律，对于每一个计量单位都必须是齐次方程式。很多科学大师如牛顿、欧拉和麦克斯韦等用量纲的概念处理问题。1871年瑞利关于天空蓝色的解释和后来对风中绳弦发声的研究[2，3]，1883年雷诺关于雷诺数的工作，都是量纲分析的早期范例。量纲分析的正规形式为Π-定理：如果一个物理关系含有n个独立变数与m个基本量纲，则它可用n-m个无量纲量表示。利用物理定律的量纲平衡(齐次)原理可确定各物理量之间的关系，从而从定性到半定量至定量地解决问题。未查到中文“量纲”的起源，“量纲分析”在日文中称为“次元解析”。关于量纲分析的文献很多，无法一一列举，如中文书[4，5，6]，最近又出了一本[7]，布里奇曼的英文书[8]是经典，稍晚的可举[9]，书中有丰富的文献和习题，还有[10]。
01
从一个故事和一个例子谈起
02
量纲分析的基本概念和方法
2.1 量纲制、量纲表示矢量、量纲表示矩阵和Π-定理
物理学是一门高度定量化的学科。物理量离不开测量，测量给出物理量的值。各物理量间由定义或物理定律联系，可选少数几个物理量作为基本量，并为之规定基本量度单位，构成单位制。约定基本量不可能依基本物理定律彼此导出。此处特别将基本量集合称为量纲制，不问其单位；单位制决定量纲制，但反之不然。其他物理量通过定义或基本物理定律作为导出量。量纲“意会”容易“言传”难，基本量不依赖于其单位选择的属性是其量纲，如量纲之一长度，地球半径的量纲是长度。选定基本量和单位制后，导出量的单位可用基本单位表出，这种表达式称为导出量的量纲式，导出量与此相关的不依赖于单位选择的属性是其量纲，描述导出量与基本量间与量值无关的简约关系。例如，在MLT量纲制有三个基本量：质量、长度和时间，对应的三个基本量纲分别记作质量M、长度L和时间T，如L不可能依基本物理定律由M和T导出，而速度v=dx/dt是导出量，是长度除以时间的结果，其量纲记
2.2 量纲分析的步骤
量纲分析的步骤如下：
第1步，选择量纲制，列出问题所有的独立关键参量，设共有n个；
第2步，确定所有n个参量的量纲；
第3步，确定量纲表示矩阵的秩m。往往从n个变量中适当选取m个量纲独立的参考量纲量；
第4步，构造出l=n-m个不等价的无纲量πj。往往用m个参考量纲量，对余下的l个参量逐一构造无纲量；
第5步，再次验证所有无纲量的确无量纲，适当整理取某些无纲量的简化组合，使之是科学界通用的已命名无纲量，通常让每个待考察的原始变量只出现在一个无纲量中，或方便于考察极限情形；
第6步，写出问题最终的无纲量关系。在理想情形下，可表现为简单的幂次形式，通常也称之为标度律(scaling law)。
量纲分析的确有些技巧，量纲分析解决复杂问题往往给人一种神奇的美的享受，量纲分析的范例不少是科学大作。如何确定问题的关键物理量，涉及如何简化问题，物理因素有哪些，孰轻孰重，需要有高深的科学修养、丰富的物理知识以及对问题的深刻理解，特别是对于新出现的科学问题。加进关系不大的多余物理量，增加分析的复杂性，但丢失关键物理量导致失败，显然不能解决问题。基本量纲量和参考量纲量的选择有随意性，一种选择会比另一种方便，无纲量的具体形式也可随之不同，但不同的无纲量组彼此等价，最终的无纲量数即物理问题的自由度是不变的。
03
应用例
定性思考和半定性实验，力求对问题的性质和解的概貌有所估计，这种能力靠物理直觉和洞察力，靠经验和功力，需要长期思考和培养。“学而不思则罔，思而不学则殆。”
3.1 证明勾股弦定理
04
量纲制的基本量个数
在CGS单位制或高斯单位制中基本单位只有3个，在MKSA单位制中有4个，而在国际单位制SI中有7个。基本单位的个数，就是基本量纲量的个数。增加基本量纲量如引入温度或电流，便于与力学过程相区分，分析热学或电学过程所起的作用，但增加基本量纲量的个数，根据Π-定理，似乎将减少无纲量的数目。物理问题的自由度显然不会因单位制的选择而改变，增加基本量纲量一般也增加相关的物理量，如引入基本量温度后需要相应引入有纲量玻尔兹曼常数，问题的自由度最终不变。仅就量纲分析操作而言，可以只用MLT量纲
05
理论物理应用
06
有纲物理常数的压缩与恢复
07
相似性理论和模型试验
量纲分析可用于复杂问题，通常描述问题的方程未知，更不消说解，但量纲分析将问题归结为少数无纲量的任意函数。工程技术领域中常用模拟试验代替真实试验如小模型风洞试验，经济又方便，且可超越实际限制。模型试验包括用模型动物进行的医学试验。1868年，弗劳德 (W. Froude) 彻底改革船舶设计，提出弗劳德数(v2/gl)用以指导小模型试验。他曾被嘲笑说，小模型也许带来无穷的乐趣，但没有任何实际意义，不过工程界最终转变了态度。模型试验的理论基础是基于量纲分析的相似性理论。虽然量纲分析中出现的任意函数的具体形式未知，只要保持无纲量不变，则模型的行为与原型等价。如果适当选取无纲量的组合，让它们在原型中固定，则所涉及函数的自变量数可以减少，模型试验可简化。当然，此处的相似性未必是几何相似性。只有同量纲量可以比较，体系间的物理相似性由无纲量刻画。另外，相对于描述问题的方程，定解条件如初条件和边条件的相似性应该一并考虑。
08
标度律
狭义的标度律，通常表现为单项式。标度律，从严谨的量纲分析来看，是必要而未必充分，相当于简化版的量纲分析。如果问题足够简单且有能力把握问题的关键量，使得无纲量只有一个，此时标度律是确定的。从完整的量纲分析出发，再区分退化情形，得到标度律，才是稳妥的做法，可以参考前面关于饮料加冰冷却的例子及流体中运动物体的阻力的例子讨论。标度律，几何上对应于分形。标度律被用于描述各种复杂现象，如前面提到的代谢率与动物体重的克莱伯3/4次幂定律。
8.1 承重圆柱的标度律
09
结语
物理定律不依赖于测量单位的选择，是最基本也最简单的对称性。物理规律最终必然只能用无纲量表达，由此带来独立有效物理量数的约化即降低问题的自由度，且更深刻反映物理量间的内在关系。通过简单分析一个问题中各物理量的量纲，可以给出问题的有效变量数目和可能形式，限制这些物理量间的某种可能关系。虽然量纲法不能预言明确的函数关系，但其结论也表现出与任何具体的函数形式无关的普适性。量纲分析方法是探讨科学规律、解决科学和工程问题的一个普适工具，非常值得学习和掌握。但十分奇怪的是，虽然量纲分析的原理极其简单，如此重要的量纲分析方法，却一般不在物理课程中系统讲授。量纲分析的范例不少是科学大作。量纲法不能事先确定关键物理量是哪些，决定量纲分析成败的，是如何确定问题的关键物理量，涉及如何简化问题，物理因素有哪些，孰轻孰重，需要有高深的科学修养、丰富的物理知识以及对问题的深刻理解，特别是对于新出现的科学问题，如处理涉及生命的现象。一旦单位制确定，量纲制也确定，但反之不然。仅就量纲分析操作而言，可以只用MLT量纲制。一个问题的有效变量数目和形式，不会因量纲制不同而有本质改变。量纲法属于定性和半定量方法，许多物理人理解定性方法似乎是不得以而为之，其实数学上的定性方法回答有无，往往并非定量方法可比。量纲分析在各个领域均有应用，流体力学是传统领域，生物医学则是新兴领域。本文的大部分内容只是一些文献的整理和总结，也企图厘正文献中的一些混乱。
参考文献
[1] Fourier J B J. Analytical Theory of Heat. New York：Dover Pub.，1955
[2] 谈庆明. 量纲分析. 合肥：中国科技大学出版社，2007
[3] 孙博华. 量纲分析与Lie群. 北京：高等教育出版社，2016
[4] 赵凯华. 定性与半定量物理学. 北京：高等教育出版社，2007
[5] 梁灿彬，曹周健. 量纲理论与应用. 北京：科学出版社，2020
[6] Rayleigh J S W，Strutt B J W. The Theory of Sound. MacMillan，1877
[7] Rayleigh J S W. Nature，1915，95：66
[8] Bridgman P W. Dimensional Analysis，2nd ed. New Haven：Yale University Press，1931
[9] White F M. Fluid Mechanics，4th ed：Ch. 5 Dimensional Analysisand Similarity. McGraw-Hill College，1998
[10] Sonin A A. The Physical Basis of Dimensional Analysis，2nd Ed. Cambridge：MIT，2001. http://web.mit.edu/2.25/www/pdf/DA unified.pdf
[11] Buckingham E. Phys. Rev.，1914，4：345
[12] West S G 著，张培 译. 规模：复杂世界的简单法则.中信出版集团，2018
本文经授权转载自微信公众号“中国物理学会期刊网”。
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