看動畫學算法之:二叉搜尋樹BST

簡介

樹是類似于連結清單的資料結構，和連結清單的線性結構不同的是，樹是具有層次結構的非線性的資料結構。

樹是由很多個節點組成的，每個節點可以指向很多個節點。

如果一個樹中的每個節點都隻有0，1，2個子節點的話，這顆樹就被稱為二叉樹，如果我們對二叉樹進行一定的排序。

比如，對于二叉樹中的每個節點，如果左子樹節點的元素都小于根節點，而右子樹的節點的元素都大于根節點，那麼這樣的樹被叫做二叉搜尋樹（Binary Search Tree）簡稱BST。

今天我們來探讨一下BST的性質和對BST的基本操作。

BST的基本性質

剛剛我們已經講過BST的基本特征了，現在我們再來總結一下：

1. BST中任意節點的左子樹一定要比該節點的值要小
2. BST中任意節點的右子樹一定要比該節點的值要大
3. BST中任意節點的左右子樹一定要是一個BST。

看一張圖直覺的感受一下BST：

BST的建構

怎麼用代碼來建構一個BST呢？

首先，BST是由一個一個的節點Node組成的，Node節點除了儲存節點的資料之外，還需要指向左右兩個子節點，這樣我們的BST完全可以由Node連接配接而成。

另外我們還需要一個root節點來表示BST的根節點。

相應的代碼如下：

public class BinarySearchTree {
    //根節點
    Node root;
    class Node {
        int data;
        Node left;
        Node right;
        public Node(int data) {
            this.data = data;
            left = right = null;
        }
    }
}      

BST的搜尋

先看下BST的搜尋，如果是上面的BST，我們想搜尋32這個節點應該是什麼樣的步驟呢？

先上圖：

搜尋的基本步驟是：

1. 從根節點41出發，比較根節點和搜尋值的大小
2. 如果搜尋值小于節點值，那麼遞歸搜尋左側樹
3. 如果搜尋值大于節點值，那麼遞歸搜尋右側樹
4. 如果節點比對，則直接傳回即可。

相應的java代碼如下：

//搜尋方法，預設從根節點搜尋
    public Node search(int data){
        return search(root,data);
    }
    //遞歸搜尋節點
    private Node search(Node node, int data)
    {
        // 如果節點比對，則傳回節點
        if (node==null || node.data==data)
            return node;
        // 節點資料大于要搜尋的資料，則繼續搜尋左邊節點
        if (node.data > data)
            return search(node.left, data);
        // 如果節點資料小于要搜素的資料，則繼續搜尋右邊節點
        return search(node.right, data);
    }      

BST的插入

搜尋講完了，我們再講BST的插入。

先看一個動畫：

上的例子中，我們向BST中插入兩個節點30和55。

插入的邏輯是這樣的：

1. 從根節點出發，比較節點資料和要插入的資料
2. 如果要插入的資料小于節點資料，則遞歸左子樹插入
3. 如果要插入的資料大于節點資料，則遞歸右子樹插入
4. 如果根節點為空，則插入目前資料作為根節點

// 插入新節點，從根節點開始插入
    public void insert(int data) {
        root = insert(root, data);
    }
    //遞歸插入新節點
    private Node insert(Node node, int data) {
        //如果節點為空，則建立新的節點
        if (node == null) {
            node = new Node(data);
            return node;
        }
        //節點不為空，則進行比較，進而遞歸進行左側插入或者右側插入
        if (data < node.data)
            node.left = insert(node.left, data);
        else if (data > node.data)
            node.right = insert(node.right, data);
        //傳回插入後的節點
        return node;
    }      

BST的删除

BST的删除要比插入複雜一點，因為插入總是插入到葉子節點，而删除可能删除的是非葉子節點。

我們先看一個删除葉子節點的例子：

上面的例子中，我們删除了30和55這兩個節點。

可以看到，删除葉子節點是相對簡單的，找到之後删除即可。

我們再來看一個比較複雜的例子，比如我們要删除65這個節點：

可以看到需要找到65這個節點的右子樹中最小的那個，替換掉65這個節點即可（當然也可以找到左子樹中最大的那個）。

是以删除邏輯是這樣的：

1. 從根節點開始，比較要删除節點和根節點的大小
2. 如果要删除節點比根節點小，則遞歸删除左子樹
3. 如果要删除節點比根節點大，則遞歸删除右子樹
4. 如果節點比對，又有兩種情況
5. 如果是單邊節點，直接傳回節點的另外一邊
6. 如果是雙邊節點，則先找出右邊最小的值，作為根節點，然後将删除最小值過後的右邊的節點，作為根節點的右節點

看下代碼的實作：

// 删除新節點，從根節點開始删除
    void delete(int data)
    {
        root = delete(root, data);
    }
    //遞歸删除節點
    Node delete(Node node, int data)
    {
        //如果節點為空，直接傳回
        if (node == null)  return node;
        //周遊左右兩邊的節點
        if (data < node.data)
            node.left = delete(node.left, data);
        else if (data > root.data)
            node.right = delete(node.right, data);
        //如果節點比對
        else
        {
            //如果是單邊節點，直接傳回其下面的節點
            if (node.left == null)
                return node.right;
            else if (node.right == null)
                return node.left;
            //如果是雙邊節點，則先找出右邊最小的值，作為根節點，然後将删除最小值過後的右邊的節點，作為根節點的右節點
            node.data = minValue(node.right);
            // 從右邊删除最小的節點
            node.right = delete(node.right, node.data);
        }
        return node;
    }      

這裡我們使用遞歸來實作的删除雙邊節點，大家可以考慮一下有沒有其他的方式來删除呢？

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