撰文 | 林木
1 非數學專業的人适不适合讀數學
非數學專業的人适不适合讀數學？如果我們去問科班出身的人，會發現絕大多數的回答是非數學專業的同學不适合來讀數學。原因在于缺乏數學基礎的訓練。比如說你直接開始看研究所學生的課，會連課本都看不懂。我們怎麼看待這種認識？他們這種看法有一定道理，但是過于片面了。非數學專業的來學數學，他的動力他的興趣會比較的強，這是一個方面。另一個方面，當你在什麼問題都還沒有開始想的時候，給你太多基礎的訓練是好事的同時也是一件壞事。
好的一方面是你掌握了一些數學語言，并且懂得一些基本的邏輯。壞的一方面是它将會以一種固定的方式限制你的思維。比如說我們對于數學到底想做什麼的問題并不清楚，我們不知道數學想幹什麼，不知道數學到底是怎麼回事，然後就被告訴說這道題就該這麼解，這麼解就對。如果你問為什麼要這麼解，很多時候得不到任何想要的回答。而非數學專業的同學在看待很多問題的時候，思想可能會更開放。
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比如說跟數學專業的人讨論，他可能第一反應是你這個邏輯對不對，你這個細節有沒有問題。這是他的第一個反應。你如果跟其他專業的人去讨論，他們可能首先關注你的想法是什麼，你想解決什麼問題，你這個想法能不能解決這些問題，而不拘泥于一些很細節的東西。如果你說的這條路對了，嚴格化隻是一個手段。嚴格的證明能夠保證我們不出錯，但是嚴格的證明不能保證我們想到解決問題的思路。
事實上，科班出身的同學，由于受今天數學教育的一個影響，形式化思維會很嚴重。我們舉個n維歐式空間的例子。在曆史上，人們首先發現了實數，也就是一維的歐式空間，然後根據現實需要推廣到高維的n維空間。但是從數學的角度看， n維空間是更基本的東西，一維空間隻是n等于1的特殊情況。于是講的時候可以從n維的歐式空間開始講，再令n等于1得到一維空間的特殊結果。而且這樣講顯得這個問題更深刻。
如果是這樣的思維，對于數學為何産生，數學要解決什麼樣的問題，抽象的數學和具體的現實問題有什麼樣的聯系這些非常重要的問題是不會引起思考的，比如說現實的實體空間是三維的，有了相對論之後加上時間研究四維時空，人們為什麼要研究一般的n維空間，它的動力來源于哪裡，它的應用又為何正确？
從這個問題講，一方面是想告訴大家，數學專業本身去學數學有它的優勢，要知道自己的優勢在什麼地方，但也要知道自己的不足，要想辦法去彌補這些不足。而另一方面如果有非數學專業的人緻力于研究數學，那麼也有他的優勢，但也有他的不足，也是要把自己的優勢發揮出來，同時想辦法通過一定的訓練來彌補自己的不足。
2 機率論的起源
機率論要解決什麼問題？我們人類為什麼要搞這一門學科？
圖2
機率論在曆史上的出現源于賭金的配置設定，從這個時候開始出現了機率相關的問題，但機率論真正成型和發展并不單純是由于這些問題，更大的動力來源是生産實踐。我們現在來考察一個燈泡生産商。顧客要來買燈泡，肯定關心廠家的燈泡能燒多久，産品的品質有沒有保證。如果是一個具體的燈泡，它要燒多久，我們可以讓它一直燒，看它什麼時候燒壞了。可問題在于，經過測試之後，燈泡就報廢了。現實生活中我們不能用這樣的思路解決問題。我們必須想辦法通過其它手段來解決它，并給出令人信服的結論。
如果對于同樣的材料，同樣的生産工藝，生産的同一批燈泡，我們認為它的一個品質大概是穩定的。怎麼叫做大概是穩定的呢？就是說把這一批燈泡全都拿過來燒，可能有的燒的時間特别短，有的可能燒的時間特别長，但是對于絕大多數的燈泡而言，它燒的時間就會穩定在一個值附近。
基于這樣的想法，如果一次生産了2萬個燈泡，雖然不能把2萬個都燒了，但抽100個出來燒一下是沒問題的。燒一下之後，這100個可能有10個連200個小時都沒燒夠，可能還有15個直接燒過了8000個小時，但是剩下的絕大多數都在三四千個小時左右。這個時候就說這批燈泡它大概比較穩定的燒的時長是4000個小時。比如說超過80%合格，那麼對于這樣的一個生産工藝，它就是達到了一個及格線的，當然需要改進，但是可以繼續用。你再去買燈泡的時候，你可能也會偶然買到壞的，但是你不會說我一連買了100個全是壞的。這是一類我們需要用機率論解決的問題。
機率論這門學科它之是以能夠成型，第一個很基本的步驟就是機率這個概念的産生。現實當中有很多問題，雖然說每考察一個都會産生一個确定的結果，但我們在處理問題的時候不能這樣去處理。我們發現在考慮多次或者多個的時候，它會有一個穩定性的東西，也就是機率這個概念。或者說機率這個概念，是把這個穩定性抽象出來。但是抽象出來還不算是數學，還隻是一個想法，抽象出來之後，還得有數學的語言去表達它，有數學方法去處理它。
在研究的時候也發現另外一些問題。比如你去研究不同的問題，它所滿足的模式還不太一樣。從一個袋子裡抓小球，抓出來放不放回去，你會發現不同的機率它又有不同的模式。是以就得搞概型，其實一個概型就是一類機率問題，用這一個概念來解決這一類問題。這些基本的概念和理論成型之後，它會抽象出一些數、一些數量關系，然後就需要把相應的機率做一些計算。
剛剛我們講了賭金配置設定促使了機率論的偶然發生，而機率論真正成型和發展應當歸功于生産實踐。大家想，我們先把機率論的曆史起源和基本認識搞清楚，具體一個概型的機率怎麼算、為什麼這麼算等等這些東西一點一點去搞就行了，這樣的學習思路是不是更加清晰高效呢？
3 高等數學要研究什麼東西
高等數學的核心是微積分，那微積分是從什麼問題來的？答案是運動。在15、16世紀之前，整個數學都處于常量數學時期，也就是初等數學時期，而從資本主義萌芽興起之後漸漸地過渡，發展成了變量數學。為了反抗宗教神學，以伽利略和笛卡爾為代表的近代自然科學的先驅，開始去大量的研究運動問題。你比如說他們去研究天體運動，神學講天體沿着圓周在運動，那是因為有上帝在推動。又為什麼是圓周？因為上帝是完美的，而最完美的曲線是圓周，是以天體沿着圓周在運動。人們通過一定的研究，發現這個軌迹不是圓周，而是橢圓。然後通過牛頓等人做一個總結，告訴人們天體運動不是有上帝在推動，而是萬有引力的影響，是自然規律的作用。
圖3
再到後面人們發現運動的研究還有它的生産力意義，運動的研究是整個社會的發展向人們提出的現實要求。
從實體學的角度研究機械運動是我們熟知的情形，化學同樣會從化學的角度去研究運動，比如在分子和原子層面考慮化學鍵的分裂、結合。不同的學科有各自不同的研究對象，從不同的角度去研究，但是它們都涉及一類共性的問題，就是數量關系的問題。而數學恰恰是來解決這個問題的，是以它就給數學提出了現實的需要。也就是說人們需要進而且隻從數量關系的角度研究運動，這正是數學這門學科所要解決的問題。當社會發展向人們提出研究運動需要的時候，就賦予了數學相應的任務和曆史使命。
為了完成這樣一個任務，承擔從數量關系研究運動這樣的一個曆史使命的學科就是微積分，微積分是從這個地方來的，它要幹的也就是這個事情。
當數學進入了變量的時代，它的研究對象、研究問題不一樣了，它的研究方法也發生了變化。數論裡面産生了解析數論，幾何學也出現了解析幾何和微分幾何。
4 笛卡爾的貢獻
在微積分出現之前，有一個必須要提的數學家——笛卡爾。怎麼看待笛卡爾的數學成就呢？也就是說怎麼評價坐标系的意義呢？
如果沒有笛卡爾坐标系，今天的數學會是什麼樣子？數和形結合不到一塊，也不會産生變量，我們可能一直處在初等數學時期。
圖4 笛卡爾
笛卡爾坐标系的建立，最直接的意義是解析幾何這門學科的誕生，裡面包含一個觀念的轉變，也就是引入了動态的觀點。人們不再把一條曲線單純地看作曲線了，還可以把它看作是點的軌迹，這是從形的角度說。那從數的角度看，會發現數可以變，可以有一個變化的範圍，也就是說變量的概念産生了。變量數學的時代，如果連變量都沒有，連變量都沒辦法刻畫，自然沒有發展的舞台，這是笛卡爾坐标系它真正的數學意義。所有的變量數學，都可以看作是從笛卡爾這個地方起源的。
他的這項工作，并沒有證明什麼高深的定理，但他搞的這個東西開啟了整個變量數學的時代。是以，笛卡爾是世界一流的數學家，是和牛頓、萊布尼茨同等層次的大數學家。
5 函數的誕生
有了變量之後，也就有了函數，函數的概念最早由歐拉定義，但在這之前數學家們也一直在研究函數。函數其實就是變量對變量的依附關系，這些變量在其它學科裡面是具體的量，比如速度、電流等等，但在數學這裡，變量隻保留了數量在一定範圍内可以發生變化的特點。函數是微積分的研究對象，這裡主要的還是連續函數。那麼我們需要什麼樣的方法進行研究呢？
極限的概念并不直覺，因為極限是倒着來的。比如說一個人從地方A走到地方B，極限的看法是我先走到了地方B，再往回看我1/2的時間走到了哪裡，1/4的時間走到哪裡。極限是當這個運動過程完成之後回過頭來看的，它和人們的直覺思考方式不太一樣。牛頓産生了極限這個想法，但他自己也不是很肯定，到了晚年他也還是想用這個東西，但畢竟微積分沒有跟着牛頓的思路發展。當時牛頓和萊布尼茨争奪微積分發明的優先權，導緻整個歐洲的數學分裂成了兩部分，一部分是以牛頓為代表的英國數學家群體，一部分是以萊布尼茨為代表的歐洲大陸數學家們。英國那一派沒走下去，雖然也出了麥克勞林、泰勒等人，可是這些人做的東西顯然沒辦法跟歐拉、拉格朗日等人相比。
圖5 萊布尼茲（左）和牛頓（右）
如果要研究運動，y随着x變化，自然的做法是去考察x變一點點的時候，y怎麼變。而這也就是我們微積分研究的無窮小方法,沿着這個方法就構成了19世紀之前整個微積分的發展。微積分誕生之後，它自身作為工具，又可以去研究微分方程，也可以用微分去研究幾何（微分幾何）。常微分方程在18世紀的時候，解法就已經研究得比較清楚了，此時的實體學還主要停留在力學的研究時代，是以偏微分方程主要是以弦振動方程為代表的一些簡單的波動方程。到了19世紀實體學進入了電磁學和熱學等的研究時代，是以19世紀的偏微分方程的發展又是以熱傳導方程、拉普拉斯方程為代表，格林函數法等解法也在這時誕生。
從這些東西我們可以看到微積分是從什麼地方來的，要解決什麼問題，研究微積分的過程中是怎麼把這樣的一些想法轉化成數學的方式，它需要什麼樣的概念。我們就要把這些問題搞清楚，而這些問題又需要結合數學本身演化的曆史來把它搞清楚，也就是我們講的曆史和邏輯相一緻的問題。
人類為什麼要研究數學？通過剛才對數學史的講解，我們把邏輯過程還原為認識過程，能夠發現曆史上的數學不是現在這個樣子。其實未來的數學也不是今天這個樣子，數學要有一個曆史的發展。很多人把數學當成是既定的這個樣子，但是我們知道數學有它自己要完成的任務，因為數學要解決現實的數量關系、空間形式等，把數量關系的規律、空間形式的規律給它揭示出來，是以在它發展到一定階段時，它可能會有一些質的變化，這是數學自身的發展規律。數學的發展最終也一定會朝着更好地為人類服務的方向前進。
本文經授權轉載自微信公衆号“數學經緯網”。
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