( 1 / x ) ^ x , x -> 無窮 的 極限 是 什麼 ？

1 / x * x  =  1，    是以，  1 / x 和 x 是 同階 且 等價 的 無窮大 和 無窮小，     這裡 同階 的 意思 是 相乘 的 結果 是 常數，   等價 是 相乘 的 結果 是  1  。

等價無窮小，  同階無窮小，  高階無窮小，   等價無窮大，  同階無窮大，  高階無窮大，    這些 是 加減乘除 四則運算 裡 的 概念 ，   也可以算上 乘方 開方 。

但  當  變量 x 同時出現在 底數 和 指數 時，  情況 就 一樣了，   底數 和 指數 之間 不能 “約分” 或 “相減” 。  比如， 底數 是 無窮小，  指數 是 無窮大，   兩者 等價，或者 同階，   但 并不能 通過 約分 或 相減 約掉消掉 化簡  。

那 要 怎麼計算  ( 1 / x ) ^ x ,  x -> 無窮   的 極限  呢  ？

( 1 / x ) ^ x ,  x -> 無窮 

=   [  e ^ ln ( 1 / x )  ] ^ x

=    e  ^  [  ln ( 1 / x )  *  x  ]

這樣，   隻要 求得   ln ( 1 / x )  *  x  ,    x -> 無窮  的 極限 就可以 知道   ( 1 / x ) ^ x ,  x -> 無窮   的 極限 了  。

當   x -> 無窮 時，   1 / x -> 0 ，     ln ( 1 / x ) ->  - 無窮   ，     x -> 無窮，      ln ( 1 / x )  *  x  =  - 無窮 * 無窮  =  - 無窮

=    e ^ ( -  無窮 )

->   0

做完了以後，   發現，   其實   ( 1 / x ) ^ x ,  x -> 無窮   的 答案 目測 就可以看出來，   當  x -> 無窮 時，   1 / x -> 0 ，   是 無窮小，  無窮小 的 無窮次方 當然 更 趨于 0 了， 也是 無窮小 。

不過，   因為   ( 1 / x ) ^ x  裡，    x  同時 出現在 底數  1 / x 和 指數 x 裡，    是以，  看起來 還是 有一點迷惑性的  。