( 1 / x ) ^ x , x -> 无穷 的 极限 是 什么 ？

1 / x * x  =  1，    所以，  1 / x 和 x 是 同阶 且 等价 的 无穷大 和 无穷小，     这里 同阶 的 意思 是 相乘 的 结果 是 常数，   等价 是 相乘 的 结果 是  1  。

等价无穷小，  同阶无穷小，  高阶无穷小，   等价无穷大，  同阶无穷大，  高阶无穷大，    这些 是 加减乘除 四则运算 里 的 概念 ，   也可以算上 乘方 开方 。

但  当  变量 x 同时出现在 底数 和 指数 时，  情况 就 一样了，   底数 和 指数 之间 不能 “约分” 或 “相减” 。  比如， 底数 是 无穷小，  指数 是 无穷大，   两者 等价，或者 同阶，   但 并不能 通过 约分 或 相减 约掉消掉 化简  。

那 要 怎么计算  ( 1 / x ) ^ x ,  x -> 无穷   的 极限  呢  ？

( 1 / x ) ^ x ,  x -> 无穷 

=   [  e ^ ln ( 1 / x )  ] ^ x

=    e  ^  [  ln ( 1 / x )  *  x  ]

这样，   只要 求得   ln ( 1 / x )  *  x  ,    x -> 无穷  的 极限 就可以 知道   ( 1 / x ) ^ x ,  x -> 无穷   的 极限 了  。

当   x -> 无穷 时，   1 / x -> 0 ，     ln ( 1 / x ) ->  - 无穷   ，     x -> 无穷，      ln ( 1 / x )  *  x  =  - 无穷 * 无穷  =  - 无穷

=    e ^ ( -  无穷 )

->   0

做完了以后，   发现，   其实   ( 1 / x ) ^ x ,  x -> 无穷   的 答案 目测 就可以看出来，   当  x -> 无穷 时，   1 / x -> 0 ，   是 无穷小，  无穷小 的 无穷次方 当然 更 趋于 0 了， 也是 无穷小 。

不过，   因为   ( 1 / x ) ^ x  里，    x  同时 出现在 底数  1 / x 和 指数 x 里，    所以，  看起来 还是 有一点迷惑性的  。