一些群論，令外時空局域性(Locality)和量子的幺正性(Unitarity)

這幾天忙于學習一下群表示(representation)的理論。在量子力學的架構下，實體狀态或者說基本粒子是對稱群的不可約表示。是以通過尋找對稱群的不可約表示，就可以得出系統的所有的可能的實體态，這個含有所有态的空間就是希爾伯特空間。學過量子力學人都有體會這個方法的強大，如果不用群論的知識，就隻能去解薛定谔方程，偏微分方程啊，總是一個噩夢。

目前也遇到了一個類似的問題，需要尋找到正交群SO(N)的不可約表示，找了一圈參考書，最後發現還是馬中骐老師的“實體學中的群論”對這個群表示理論介紹的特别全面，還有豐富的例子幫助學習掌握。

正交群的不可約表示分為張量和自旋兩類。這裡我們隻關注張量表示，因為其可以由向量表示直積得到。但是得到的張量空間并不是可約的，而是可以分解成多個可約表示的直和。每個可約表示都對應了一個不變的張量子空間。這樣整個張量空間就可以分解成很多不變張量子空間。是以找到了每個不變張量子空間就能找到對應的不可約表示了。正交群和對稱交換群S是對易的，是以他們的不變子空間是互相對應的。對稱交換群的不變子空間是用氏矩陣(Young diagram)表示。同樣的，我們就可以用楊氏矩陣來表示所有正交群的張量不可約表示了！

可以這樣說，如果一個系統的對稱群是N維空間的轉動不變，那麼這個系統的實體态就由SO(N)的不可約表示來表征，也對應了楊氏矩陣。

很喜歡楊氏矩陣這個概念，就像狄拉克的ket 和 bra 符号，現在每一個态可以用一個楊氏盒子來表示了！

下面總結一下Nima的報告，上周做的筆記，可能有遺漏。後來發現他在去年12月份在PSW（華盛頓特區的哲學社會？）的時候，就同樣的問題做過一個2個小時的報告，那裡他可能有更詳細的闡釋，而且Motl在他的部落格TRF(The reference frame)也寫過評論。網上都可以找得到。

雖然時空或是引力還沒有被完全量子化，不過可以想象，時空本身不應該是基本的概念，而是從一個量子系統浮現(emerge)出來，比如弦論。在規範場/引力場(AdS/CFT)的對偶提出的20年後(真的今年是二十年啊距離Maldacena的文章)，引力等于量子場論這樣的認知也越來越廣為接受。在這個範式下，量子力學原理是要比時空概念更加基本一些。而Nima的想法是，量子力學和時空概念同等，都是由另外一個更深層次的結構或是概念推導出來。

他舉了兩個例子分别說明，時空和量子力學不是基本的實體概念。對于時空概念的責難是，時空點是虛假的，不可觀測的。普遍的時空圖像或是相對論裡面的時候是有流形(manifold)結構的，有無數的點組成。因為不确定性原理，我們想要精确地觀測的距離越短，需要的能量也就越大，最後會創造出一個黑洞，是以可觀測的距離是有極限的，時空不是點狀的。對于量子力學的發難是，當考慮引力的作用的時候，我們無法做出精确的量子力學的測量因為測量儀器本身的量子效應。儀器或是電器元件本身的量子效應就是阻礙我們把電子裝置做下的攔路虎之一。要消除儀器本身的量子效應，或者讓儀器無限的重，但是同樣的會創造黑洞。還有就是把儀器放到無限遠。對于封閉的宇宙，如AdS，我麼可以發送資訊到無限遠并接受回信，但是對于我們現在真實的沒有邊界的宇宙，這一點也是行不通的。通過這兩個例子，Nima強調，當同時考慮引力和量子力學的作用時候，兩者是互相制約的。因為要實作相對論要求的局域性，标準模型是用場論來描述的。但是量子場論在4維時空的數學定義并不嚴格而是在4維空間要嚴格的定義。4維空間的場論其實等價于經典的統計力學，隻有當我們從4維空間的場論過渡到4維時空的時候，量子力學的量子才顯現出來，因為這個過渡會引入虛數，而虛數的引入是量子相幹疊加的前提(也有人用普通的條件機率來表示相幹疊加，不過表述過于繁複，還沒有形成整套理論)。

接下來Nima要提出他從研究散射振幅得來的一些對實體的洞見了。他最得意的一點就是，散射振幅本身就同時展現了相對論的局域性和量子力學的幺正性。散射振幅(S matrix)可以了解為一個運動學标量的函數。這個函數的發散點包涵了局域性的資訊，函數的滿足一定的泛函方程(S matrix splits)展現的就是量子力學的幺正性。我們并不需要量子場論所附加的所有，僅僅需要散射振幅這個可觀測量本身，通過研究他的性質，就可以得到所有的實體結果。這和上個世紀失敗了的S-matrix理論如出一轍，但是新的數學結構，還有對散射振幅更深刻的了解，讓這個理論重新燃了起來。這個新的數學結構就是正定幾何。

簡單的來講，正定幾何可以了解為多邊形，多面體的推廣，特點就是有低維的邊間。比如一個正方體，就有面，邊和頂角3種不同低次元的邊界。在每一個正定幾何上都可以定義個微分形式(form)。從這個微分形式我們可以得到實體的觀測量。這也是與傳統S-matrix理論最大的差別，由研究函數轉變為研究幾何。每一個散射振幅都可以由一個正定幾何來表示。在場論的架構下計算散射幾何時候，要對所有費曼圖求和，每一個費曼圖都代表了一個局域過程。但是往往當你把所有的費曼圖疊加後，得到的結果非常簡單。成百上千個費曼圖，每一個圖都是可能是一個複雜的積分，可是當你們把他們都加起來的時候，項與項互相抵消，最後隻剩下很簡單的表達式。可以猜想，在費曼圖後面有一個更直覺更簡單的計算散射的過程。從目前的研究來看，正定幾何很可能就是！剛才已經說過，散射振幅對應了一個正定幾何，而把散射振幅分解成費曼圖的過程可以了解為把正定幾何分解成小塊，然後計算每一個小塊的微分形式，最後再加在一起。從這個角度我們也可以了解為什麼每一個費曼圖得到的結果都有一些發散地點，但是最後疊加的結果全是有限的。

很明顯如果我們有了個全局的圖像，我們可以利用更簡單的方法來計算整個微分形式進而達到散射振幅！

有了正定幾何這個全新的S-matrix理論，我們不再需要時空，不再需要拉式量，action，所有的實體都可以從幾何性質推出，我們要做到隻是選擇一個動力學的空間，确定裡面的正定結構就可以了。

現在同樣的概念不但在場論裡面翻天覆地，還被運用在宇宙學裡，可以研究宇宙的波函數(Nima前年也做過一個了有關的報告)，在這次ICTS上，還給了幾個lectures.

用Nima的話就是，時空已經被終結了!

原文釋出時間為：2018.02.01

本文作者：悟空餃子

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