抽樣分布與統計推斷

抽樣分布：

• χ2 分布
• t 分布
• F 分布

樣本是進行統計推斷（statistic inference）的依據。在應用時，往往不是直接使用樣本本身，而是針對不同的問題構造樣本的适當函數，利用這些樣本的函數進行統計推斷。

1. 常用統計量

設 X1,X2,…,Xn 是來自總體 X 的一個樣本，g(X1,X2,…,Xn) 是 X1,X2,…,Xn 的函數，若 g(⋅) 中不含未知參數，則稱 g(X1,X2,…,Xn)（函數）是一個統計量。

• 統計量是關于所抽樣樣本 X1,X2,…,Xn 的函數；
• 因為 X1,X2,…,Xn 都是随機變量，統計量 g(X1,X2,…,Xn) 是随機變量的函數，是以統計量也是随機變量；
• 統計量的分布稱為抽樣分布；

設 x1,x2,…,xn 是相應于樣本 X1,X2,…,Xn 的樣本值，則稱 g(x1,x2,…,xn) 是 g(X1,X2,…,Xn) 的觀察值。

2. 常見統計量

下面列出幾個常用的統計量，設 X1,X2,…,Xn 是來自總體 X 的一個樣本，x1,x2,…,xn 是這一樣本的觀察值。

• 樣本均值：X¯=1n∑ni=1Xi
• 樣本方差：S2=1n−1∑ni=1(Xi−X¯)2=1n−1(∑ni=1X2i−nX¯2)
• 樣本标準差：S=1n−1∑ni=1(Xi−X¯)2−−−−−−−−−−−−−−−−√
• 樣本的 k 階原點矩（Xk=Xk−0）：Ak=1n∑ni=1Xki
• 樣本的 k 階中心矩：Bk=1n∑ni=1(Xi−X¯)k

3. χ2 分布

設 X1,X2,…,Xn 是來自總體 N(0,1) 的樣本，則稱統計量：

χ2=X21+X22+…+X2n

服從自由度為 n 的 χ2 分布，記為 χ2∼χ2(n)；

χ2 分布的可加性：

• χ21∼χ2(n1),χ22∼χ2(n2)，且二者互相獨立 ⇒ χ21+χ22∼χ2(n1+n2)

χ2 分布的數學期望和方差，若 χ2∼χ2(n)，則有 E(χ2)=n,D(χ2)=2n

Xi∼N(0,1)，則有 E(X2i)=D(Xi)=1，D(X2i)=E(X4i)−(E(X2i))2=3!!−1=2，是以有，

3. χ2 分布的分位點

對于給定的正數 α，0<α<1，稱滿足條件：

4. 例題

• 設 X1,X2,X3,X4 是來自正态整體 N(0,22) 的簡單随機樣本，記 Y=a(X1−2X2)2+b(3X1−4X2)2，已知 a,b 為常數，且 Y∼χ2(n)，則 n=?：χ2(n) 分布要求是多個标準正态分布的加和（至少是一個），X1−2X2∼N(0,20),3X1−4X2∼N(0,100)，是以 X1−2X220√∼N(0,1)，3X1−4X210∼(0,1)：

• a=120，b=1100 ⇒ n = 2
• a=120,b=0 或者 a=0,b=1100，n ⇒ 1