圓的方程

利用定義式推導；

定義式：\(|OA|=r\)

标準式方程\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)；

一般式方程\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) \((D^2+E^2-4F>0)\)任意一個圓都可以表達成一個二進制二次方程，且不含有 \(x\) 和 \(y\) 的交叉項；但是任意一個不含有 \(x\) 和 \(y\) 的交叉項的二進制二次方程不一定都能刻畫一個圓，必須滿足一定的條件，比如\(D^2\)\(+\)\(E^2\)\(-\)\(4F\)\(>\)\(0\)；

直徑式方程\((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)[其中\(A(x_1，y_1)\)、\(B(x_2，y_2)\)是圓直徑的兩端點坐标][1]

參數式：\(\left\{\begin{array}{l}{x=r\cdot \cos\theta}\\{y=r\cdot \sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)為參數) 或\((r\cdot cos\theta，r\cdot sin\theta)\)

極坐标式：\(\rho=3，\theta\in [0，2\pi)\)

向量式：已知點\(M\)為曲線上的動點，點\(A,B\)為兩個定點，且滿足關系\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\)，則點\(M\)的軌迹方程是圓。

特殊條件

特殊圓對應的方程

圓心在坐标原點

\(x^2+y^2=r^2\)

圓心在\(x\)軸上

\((x-a)^2+y^2=r^2\)

圓心在\(y\)軸上

\(x^2+(y-a)^2=r^2\)

經過原點

\((x-a)^2+(y-b)^2=a^2+b^2\)(\(a\),\(b\)不同時為\(0\))

與\(x\)軸相切

\((x-a)^2+(y-b)^2=b^2\)(\(b\neq 0\))

與\(y\)軸相切

\((x-a)^2+(y-b)^2=a^2\)(\(a\neq 0\))

與坐标軸都相切

\((x\pm a)^2+(y\pm a)^2=a^2\)(\(a\neq 0\))

以\(A(x_1,y_1)\),\(B(x_2,y_2)\)為直徑的兩端點

\((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)

配方法，普通方程，極坐标式方程，參數式方程的互化；

有空加以證明或驗證說明，并配圖說明

➊過圓\(x^2+y^2=r^2\)上一點\(P(x_0,y_0)\)的切線的方程為\(x_0x+y_0y=r^2\)；

➋過圓\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)上一點\(P(x_0,y_0)\)的切線的方程為\((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\)；

➌過圓\(x^2+y^2=r^2\)外一點\(P(x_0,y_0)\)做圓的兩條切線，切點分别為\(A\)，\(B\) ，則過\(A\)，\(B\)兩點的直線方程為\(x_0x+y_0y=r^2\)；

➍過圓\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)(\(D^2+E^2-4F>0\))外一點\(P(x_0,y_0)\)做圓的切線，切點為\(T\)，則\(|PT|=\sqrt{x_0^2+y_0^2+Dx_0+Ey_0+F}\)

➎過圓\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)外一點\(P(x_0,y_0)\)做圓的兩條切線，切點分别為\(A\)，\(B\)，則直線\(AB\)的方程(切點弦所在的直線方程)為\((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\)；

➏過圓\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)外一點\(P(x_0,y_0)\)做圓的切線，切點為\(T\)，則\(|PT|=\sqrt{(x_0-a)^2+(y_0-b)^2-r^2}\)，

給定點\(P(x_0，y_0)\)，和圓\(x^2+y^2=R^2\)，則該點和該圓的位置關系有三種，

從形的角度刻畫：點在圓外，點在圓上，點在圓内，配圖可自行制作；

從數的角度刻畫[注意和上面的對應]：\(x_0^2+y_0^2>R^2\)，\(x_0^2+y_0^2=R^2\)，\(x_0^2+y_0^2<R^2\)，

類比上述情形，我們也可以寫出其他點和圓的位置關系的數的表達不等式；

已知過原點的動直線\(l\)與圓\(C_1：x^2+y^2-6x+5=0\)相交于不同的兩點\(A，B\)，

(1)、求直線\(l\)的斜率\(k\)的取值範圍；

分析：圓的标準方程為\((x-3)^2+y^2=2^2\)，

故圓心坐标\(C_1(3，0)\)，半徑為\(r=2\)，

設直線\(l\)的方程為\(y=kx\)，即\(kx-y=0\)，

則圓心\(C_1\)到直線\(l\)的距離\(d=\cfrac{|3k|}{\sqrt{k^2+1}}< 2\)，

解得\(-\cfrac{2\sqrt{5}}{5}< k< \cfrac{2\sqrt{5}}{5}\)；

(2)、求線段\(AB\)的中點\(M\)的軌迹\(C\)的方程。

分析【法1】：設直線\(AB\)的方程為\(y=kx\)，點\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)

與圓\(C_1\)聯立，消\(y\)得到，\((1+k^2)x^2-6x+5=0\)，

由\(\Delta =(-6)^2-4\times 5(1+k^2)>0\)，可得\(k^2<\cfrac{4}{5}\)，

由韋達定理可得，\(x_1+x_2=\cfrac{6}{1+k^2}\)，

則線段\(AB\)的中點\(M\)的軌迹\(C\)的參數方程為\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{3}{1+k^2}①}\\{y=\cfrac{3k}{1+k^2}②}\end{array}\right.\)，其中\(-\cfrac{2\sqrt{5}}{5}<k<\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\)，

如何消參數呢？兩式相比，得到\(y=kx\)，即\(k=\cfrac{y}{x}\)，代入①變形整理後得到，\((x-\cfrac{3}{2})^2+y^2=\cfrac{9}{4}\)，

又由于\(k^2<\cfrac{4}{5}\)，得到\(\cfrac{5}{3}<x\leq 3\)，

故線段\(AB\)的中點\(M\)的軌迹\(C\)的方程為\((x-\cfrac{3}{2})^2+y^2=\cfrac{9}{4}\)，其中\(\cfrac{5}{3}<x\leq 3\)。

【法2】有空，再思考補充 點差法。 \((x_1+x_2)[(x_1-x_2)-6]=-(y_1+y_2)(y_1-y_2)\)。

已知過原點的動直線\(l\)與圓\(C_1：x^2+y^2-6x+5=0\)相交于不同的兩點\(A，B\)，已知兩點\(A(1，0)\)，\(B(0，2)\)，點\(P\)是圓\((x+1)^2+y^2=1\)上的任意一點，則\(\Delta PAB\)的面積的最小值為_______________。

分析：設\(\Delta PAB\)底邊\(AB\)上的高線為\(h\)，則\(S_{\Delta PAB}=\cfrac{1}{2}\cdot AB \cdot h\)，由于\(AB\)是定長的，故其面積的最小值取決于\(h\)的最小值。

【法1】：利用圓的特殊性，用幾何方法求解高線的最小值；

【法2】：平行線法，

【法3】：三角函數法+圓的參數方程法

【2020寶雞市質檢三文科第10題】已知\(F_{1}\)，\(F_{2}\)是雙曲線\(\cfrac{x^{2}}{a^{2}}-\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)\)的左、右焦點，\(P\)是雙曲線右支上任意一點，\(M\)是線段\(PF_{1}\)的中點，則以\(PF_{1}\)為直徑的圓與圓\(x^{2}+y^{2}=a^{2}\)的位置關系是【】

$A.相離$ $B.相切$ $C.相交$ $D.以上都有可能$

分析：由于點\(P\)在雙曲線右支上，故滿足\(|PF_1|-|PF_2|=2a\)，

又由于\(M\)是線段\(PF_{1}\)的中點，則\(|MF_{1}|=|PM|=\cfrac{1}{2}|PF_{1}|\)，

又由于\(O\)是線段\(F_{1}F_{2}\)的中點，則\(|MO|=\cfrac{1}{2}|PF_{2}|\)，則\(\cfrac{1}{2}|PF_{1}|-\cfrac{1}{2}|PF_{2}|=a\)，

即得到\(|MF_{1}|-|OM|=a\)，進而有\(|OM|=|MF_{1}|-a\)，

即圓心距等于兩圓的半徑之差，故以線段\(PF_{1}\)為直徑的圓與圓\(x^{-2}+y^{2}=a^{2}\)的位置關系是相内切，故選\(B\).

有時候，圓或者半圓會以函數的形式出現，此時一般都會是根式函數的形式；

已知曲線 \(y=\sqrt{2x-x^{2}}\) \((0\leqslant x\leqslant 2)\) 與直線 \(y=k(x-2)+2\) 僅有 \(2\) 個交點， 求實數 \(k\)的取值範圍；

分析：見到曲線 \(y=\sqrt{2x-x^{2}}\) \((0\leqslant x\leqslant 2)\)，既要能看到其是二次函數和根式函數的複合函數，也要能看到兩邊同時平方後，能和半圓聯系起來，用後者的思路求解此題目就更簡單。

解析：由曲線 \(y=\sqrt{2x-x^{2}}\) \((0\leqslant x\leqslant 2)\)，兩邊同時平方，

同解變形為\((x-1)^2+y^2=1(y\geqslant 0)\)，這是個圓心在點 \((1,0)\)，半徑為 \(1\) 的 \(x\) 軸上方的半圓；

在同一個坐标系中，做出兩個函數的圖像，從形的角度入手分析，利用數形結合求解即可；

直線 \(y=k(x-2)+2\) 經過點 \((2,2)\) 和 \((0,0)\) 時，斜率為\(1\)；

當直線和半圓相切時，直線斜率的求法思路之一：令\(\angle ABx=\theta\)，

則\(\tan\theta=2\)，由此求得\(\tan2\theta=\cfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}=-\cfrac{4}{3}\)，

故直線和曲線相切時的斜率\(k=\cfrac{3}{4}\)，

由圖像可知，直線和曲線僅有兩個交點時， \(k\in(\cfrac{3}{4}, 1]\)，

當直線和半圓相切時，直線斜率的求法思路之二：利用導數求解，略；

當直線和半圓相切時，直線斜率的求法思路之三：利用點 \((1,0)\) 到直線的距離\(d=r=1\)來求解，

點 \((1,0)\) 到直線 \(y=k(x-2)+2\)，即直線 \(kx-y-2k+2=0\) 的距離 \(d=\cfrac{|k\times 1-0-2k+2|}{\sqrt{k^2+1}}=1\)，

化簡為 \(|k-2|=\sqrt{k^2+1}\)，解得 \(k=\cfrac{3}{4}\)，故直線和半圓相切時的斜率為 \(k=\cfrac{3}{4}\) .

【北師大版本選修 4-4 \(P_{_7}\) \(B\) 組第一題】已知一個圓直徑的端點是 \(A(x_1,y_1)\) ， \(B(x_2,y_2)\)，證明：圓的方程是\((x-x_1)\)\((x-x_2)\)\(+\)\((y-y_1)\)\((y-y_2)\)\(=\)\(0\) .

證明：法1，可以用向量式證明。

設圓上動點為\(P(x，y)\)，則當點\(P\)不同于點\(A\)和點\(B\)時，總有\(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=0\)，

而\(\overrightarrow{AP}=(x-x_1，x-x_2)\)，\(\overrightarrow{BP}=(y-y_1，y-y_2)\)，

當點\(P\)和點\(A\)重合，或和點\(B\)重合時，也滿足上述條件；

故有\((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)，即其為圓的直徑式方程。

[其中圓的直徑的端點是\(A(x_1，y_1)\)、\(B(x_2，y_2)\)]。

證明：法2，可以借助圓方程的标準形式來證明。

由于圓直徑的端點是 \(A(x_1,y_1)\) ， \(B(x_2,y_2)\)，

則圓心坐标為 \((\cfrac{x_1+x_2}{2},\cfrac{y_1+y_2}{2})\)，圓的半徑為 \(r=\cfrac{1}{2}\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)，

将其代入圓的标準方程 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，得到，

\((x-\cfrac{x_1+x_2}{2})^2+(y-\cfrac{y_1+y_2}{2})^2=\left [\cfrac{1}{2}\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\right]^2\)，

即\(x^2-(x_1+x_2)x+\cfrac{(x_1+x_2)^2}{4}\)+\(y^2-(y_1+y_2)y+\cfrac{(y_1+y_2)^2}{4}=\cfrac{(x_1-x_2)^2}{4}\)+\(\cfrac{(y_1-y_2)^2}{4}\)，

整理得到，\([x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2]+ [y^2-(y_1+y_2)y+y_1y_2]=0\)，

即可化為 \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)，即其為圓的直徑式方程。

可以用向量式證明。設圓上動點為\(P(x，y)\)，則當點\(P\)不同于點\(A\)和點\(B\)時，總有\(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=0\)

故有\((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)，即其為圓的直徑式方程。[其中圓的直徑的端點是\(A(x_1，y_1)\)、\(B(x_2，y_2)\)] ↩︎