良序集的一節

良序集$A$，以$\prec$為順序.$a\in A$,集合$A'=\{x:x\in A,x\prec a\}$稱為$A$的一節.(易得當$a$是最小元時，$A'=\emptyset$)

定理：良序集$A$與其任何一節絕不序同構.

證明：假若$A$與其一節$A'$存在序同構.即存在$f:A\to f(A)=A'$,使得$\forall x,y\in A,x<y$時,便有$f(x)<f(y)$.易得$f$是一個雙射.設$x_0$是$A$的最小元，則$x_0$也是$A'$的最小元.顯然$f(x_0)=x_0$.假設對于$k\in A$,我們有

$$f(\{x\in A:x\prec k\})=\{x\in A:x\prec k\}$$

則容易推出$$f(\{x\in A:x\preceq k\})=\{x\in A:x\preceq k\}$$

根據強數學歸納法，我們有$$f(A')=A'$$然而我們有$$f(A)=A'$$這表明$f$不是雙射.沖突.