良序集的一节

良序集$A$，以$\prec$为顺序.$a\in A$,集合$A'=\{x:x\in A,x\prec a\}$称为$A$的一节.(易得当$a$是最小元时，$A'=\emptyset$)

定理：良序集$A$与其任何一节绝不序同构.

证明：假若$A$与其一节$A'$存在序同构.即存在$f:A\to f(A)=A'$,使得$\forall x,y\in A,x<y$时,便有$f(x)<f(y)$.易得$f$是一个双射.设$x_0$是$A$的最小元，则$x_0$也是$A'$的最小元.显然$f(x_0)=x_0$.假设对于$k\in A$,我们有

$$f(\{x\in A:x\prec k\})=\{x\in A:x\prec k\}$$

则容易推出$$f(\{x\in A:x\preceq k\})=\{x\in A:x\preceq k\}$$

根据强数学归纳法，我们有$$f(A')=A'$$然而我们有$$f(A)=A'$$这表明$f$不是双射.矛盾.