1 引言
随着多媒體技術的迅速發展和網絡帶寬限制的放松，越來越多的數字圖象在網絡上傳輸，這些圖象資訊有些無關緊要，有些卻至關重要，它們有可能涉及到個人的隐私、公司的利益、國家的安全，其價值無法衡量。另一方面，網絡的普及使得任何人都有可能接觸到其中的資訊，并從中搜集，而無論這種搜集是善意還是惡意、合法還是非法，這就使得在網絡上傳輸圖象的安全性倍受關注，對圖象進行加密也就成為重要的研究方向。
目前，資訊隐藏與僞裝技術是一個非常重要而又非常活躍的研究領域，而圖象的置亂技術既可作為一種常見的圖象加密方法，又可作為進一步隐藏圖象資訊的預處理，是一種值得深入研究的課題。已有很多文獻提出了圖象置亂的方法，如文獻提到的Arnold變換，文獻提出的排列變換，文獻提出的Fibonacci變換，這些置亂變換置亂圖象後的直覺效果各不相同，但其計算時間複雜度是基本一緻的，因為它們均存在取模（mod）運算，使得在作置亂時較費時。文章首先分析了Arnold變換、排列變換、Fibonacci變換的不足，然後基于仿射變換，提出了一類新的數字圖象置亂變換，該變換不含取模運算，隻含加、減、乘運算，進而使得計算時間較快。在文章的第三部分，提出了一個猜想，并給出了猜想的計算機驗證示例。最後進行了總結，指出了今後的研究方向。
2 Arnold變換、排列變換、Fibonacci變換的不足
Arnold變換是Arnold在周遊理論研究中提出的一種變換，對于正方形的數字圖象來說，使用離散化的Arnold變換，其定義為:
其中N為圖象的高度和寬度的象素數。
文獻給出排列變換的定義為：
其中{ad-bc=±1， a， b， c， deZ} ，當a=b=c=1， d=2時就是Arnold變換。當a=b=c=1， d=0時就是文獻[3] 提到的Fibonacci變換。它們的共同點是，均采用了取模的運算，以此來保證變換後的象素位置(x’，y’)不超過所給圖象的區域邀(x，y)：0≤x≤N-1，0sy≤N-1妖。這就帶來了兩點不足：(1)置亂時較費時；(2) 除Arnold變換的逆變換易求出外， 其餘變換的逆變換不易求出。
一幅數字圖像可用一矩陣A=邀a(i， j) 妖NxN表示， 其中a(ij) 表示圖像在第i行j列象素處的灰階值(或RGB分量值) 。
數字圖象的置亂原理是：将原來點(x， y) 處象素對應的灰階值或RGB顔色值移動到變換後的點(x’， y’) 處。如果對一個數字圖象疊代地使用離散化後的Arnold變換、排列變換、Fibonacci變換， 即将(1) 或(2) 式左端的(x’， y’) 作為下一次相應變換的輸入， 則可重複這個過程一直作下去。當疊代到某一步時，如果出現的圖象的各種灰階值或RGB值均勻分布在圖象所在的區域：邀(x， y) ：0≤x≤N-1， 0sy≤N-1妖， 則圖象的資訊将完全被掩蓋， 達到了圖象加密的目的。
3 仿射變換
仿射變換的一般形式為:
為便于與Arnold變換、排列變換、Fibonacci變換對照，将它寫成矩陣的形式為：
雖然對于平面仿射變換由三對對應點代入（3）後就可完全确定，但由于目的是要用它作圖象的置亂。是以對仿射變換還有特殊的要求，即：要尋找恰當的a,b,c,d,e,f使得：（1）變換是區域邀（x,y):1≤x≤N,1≤y≤N妖到其自身的單映射；（2）變換是區域邀（x,y):1≤x≤N,1≤y≤N妖到其自身的滿映射。根據文獻[5]中所指出的，可将仿射變換分解成：運動變換、斜對稱變換、相似變換、壓縮（拉伸）變換、正交變換、剪移等變換的組合，進而可求得滿足要求（1）和（2）的一系列解。求得的a,b,c,d,e,f可看作圖象置亂加密的密鑰，這裡僅給出一個所求得的仿射變換，如下所示。
當x<y時：
當x≥y時：
該變換避免了取模運算，其中隻有加、減、乘運算，不僅降低了其計算難度，而且也使求其逆變換變得容易，其逆變換為：
當x’+y’≤N+1時：
當x’+y’>N+1時：
沒有逆變換，可以通過求出周期T（重複變換T次回到原始圖象），進行疊代T次獲得圖象解密。對Arnold變換，T通常是比較大的[3]，如對256×256象素圖象T=192。這固然給敵方破譯圖象秘密增加了難度，但同時也給自己的解密增加了不必要的計算，對某些實時性要求高的系統帶來不變。有了逆變換的好處在于，知道了圖象置亂加密的密鑰後，可立即進行解密，沒有必要進行大數量的疊代運算。
1 matlab版本
2014a
2 參考文獻
[1] 蔡利梅.MATLAB圖像處理——理論、算法與執行個體分析[M].清華大學出版社，2020.
[2]楊丹,趙海濱,龍哲.MATLAB圖像處理執行個體詳解[M].清華大學出版社，2013.
[3]周品.MATLAB圖像處理與圖形使用者界面設計[M].清華大學出版社，2013.
[4]劉成龍.精通MATLAB圖像處理[M].清華大學出版社，2015.