進制轉換

　　給你一個十進制，比如：6，如果将它轉換成二進制數呢？

　　10進制數轉換成二進制數，這是一個連續除以2的過程：

　　把要轉換的數，除以2，得到商和餘數，

　　将商繼續除以2，直到商為0。最後将所有餘數倒序排列，得到數就是轉換結果。

　　聽起來有些糊塗？我們結合例子來說明。比如要轉換6為二進制數。

　　“把要轉換的數，除以2，得到商和餘數”。

　　那麼：

十轉二示意圖

要轉換的數是6， 6 ÷ 2，得到商是3，餘數是0。

　　“将商繼續除以2,直到商為0……”

　　現在商是3，還不是0，是以繼續除以2。

　　那就： 3 ÷ 2, 得到商是1,餘數是1。

　　“将商繼續除以2，直到商為0……”

　　現在商是1，還不是0，是以繼續除以2。

　　那就： 1 ÷ 2, 得到商是0，餘數是1

　　“将商繼續除以2，直到商為0……最後将所有餘數倒序排列”

　　好極！現在商已經是0。

　　我們三次計算依次得到餘數分别是：0、1、1，将所有餘數倒序排列，那就是：110了！

　　6轉換成二進制，結果是110。

　　把上面的一段改成用表格來表示，則為：

　　被除數 計算過程 商 餘數

　　6 6/2 3 0

　　3 3/2 1 1

　　1 1/2 0 1

　　（在計算機中，÷用 / 來表示）

　　二進制數轉換為十進制數

　　二進制數第0位的權值是2的0次方，第1位的權值是2的1次方……

　　是以，設有一個二進制數：0110 0100，轉換為10進制為：

　　下面是豎式：

　　0110 0100 換算成 十進制

　　" ^ " 為次方

　　第1位 0 * 2^0 = 0

　　第2位 0 * 2^1 = 0

　　第3位 1 * 2^2 = 4

　　第4位 0 * 2^3 = 0

　　第5位 0 * 2^4 = 0

　　第6位 1 * 2^5 = 32

　　第7位 1 * 2^6 = 64

　　第8位 0 * 2^7 = 0 +

　　公式：第N位2^（N-1）

　　---------------------------

　　100

　　用橫式計算為：

　　0 * 2 ^ 0 + 0 * 2 ^ 1 + 1 * 2 ^ 2 + 0 * 2 ^ 3 + 0 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 5 + 1 * 2 ^ 6 + 0 * 2 ^ 7 = 100

　　0乘以多少都是0，是以我們也可以直接跳過值為0的位：

　　1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 5 + 1 * 2 ^ 6 = 100

　　10進制數轉換成8進制的方法，和轉換為2進制的方法類似，唯一變化：除數由2變成8。

　　來看一個例子，如何将十進制數120轉換成八進制數。

　　用表格表示：

　　120 120/8 15 0

　　15 15/8 1 7

　　1 1/8 0 1

　　120轉換為8進制，結果為：170。

　　八進制就是逢8進1。

　　八進制數采用 0～7這八數來表達一個數。

　　八進制數第0位的權值為8的0次方，第1位權值為8的1次方，第2位權值為8的2次方……

　　是以，設有一個八進制數：1507，轉換為十進制為：

　　用豎式表示：

　　1507換算成十進制。

　　第0位 7 * 8^0 = 7

　　第1位 0 * 8^1 = 0

　　第2位 5 * 8^2 = 320

　　第3位 1 * 8^3 = 512

　　--------------------------

　　839

　　同樣，我們也可以用橫式直接計算：

　　7 * 8^0 + 0 * 8^1 + 5 * 8^2 + 1 * 8^3 = 839

　　結果是，八進制數 1507 轉換成十進制數為 839

　　10進制數轉換成16進制的方法，和轉換為2進制的方法類似，唯一變化：除數由2變成16。

　　同樣是120，轉換成16進制則為：

　　120 120/16 7 8

　　7 7/16 0 7

　　120轉換為16進制，結果為：78。

　　16進制就是逢16進1，但我們隻有0~9這十個數字，是以我們用A，B，C，D，E，F這六個字母來分别表示10，11，12，13，14，15。字母不區分大小寫。

　　十六進制數的第0位的權值為16的0次方，第1位的權值為16的1次方，第2位的權值為16的2次方……

　　是以，在第N（N從0開始）位上，如果是是數 X （X 大于等于0，并且X小于等于 15，即：F）表示的大小為 X * 16的N次方。

　　假設有一個十六進數 2AF5, 那麼如何換算成10進制呢？

　　用豎式計算：

　　2AF5換算成10進制:

　　第0位： 5 * 16^0 = 5

　　第1位： F * 16^1 = 240

　　第2位： A * 16^2 = 2560

　　第3位： 2 * 16^3 = 8192 +

　　-------------------------------------

　　10997

　　直接計算就是：

　　5 * 16^0 + F * 16^1 + A * 16^2 + 2 * 16^3 = 10997

　　(别忘了，在上面的計算中，A表示10，而F表示15)

　　現在可以看出，所有進制換算成10進制，關鍵在于各自的權值不同。

　　假設有人問你，十進數 1234 為什麼是 一千二百三十四？你盡可以給他這麼一個算式：

　　1234 = 1 * 10^3 + 2 * 10^2 + 3 * 10^1 + 4 * 10^0

　　（11001.101）（二）

　　整數部分： 從後往前每三位一組，缺位處用0填補，然後按十進制方法進行轉化， 則有：

　　001=1

　　011=3

　　然後我們将結果按從下往上的順序書寫就是：31，那麼這個31就是二進制11001的八進制形式

　　小數部分： 從前往後每三位一組，缺位處用0填補，然後按十進制方法進行轉化， 則有：

　　101=5

　　然後我們将結果部分按從上往下的順序書寫就是：5，那麼這個5就是二進制0.101的八進制形式

　　小數部分

　　是以：（11001.101）（二）=（31.5）（八）

　　（31.5）（八）

　　整數部分：從後往前每一位按十進制轉化方式轉化為三位二進制數，缺位處用0補充 則有：

　　1---->1---->001

　　3---->11

　　然後我們将結果按從下往上的順序書寫就是：11001，那麼這個11001就是八進制31的二進制形式

　　說明，關于十進制的轉化方式我這裡就不再說了，上一篇文章我已經講解了！

　　小數部分：從前往後每一位按十進制轉化方式轉化為三位二進制數，缺位處用0補充 則有：

　　5---->101

　　然後我們将結果按從下往上的順序書寫就是：101，那麼這個101就是八進制5的二進制形式

　　是以：（31.5）（八）=（11001.101）（二）

　　二進制和十六進制的互相轉換比較重要。不過這二者的轉換卻不用計算，每個C，C++程式員都能做到看見二進制數，直接就能轉換為十六進制數，反之亦然。

　　我們也一樣，隻要學完這一小節，就能做到。

　　首先我們來看一個二進制數：1111，它是多少呢？

　　你可能還要這樣計算：1 * 2^0 + 1 * 2^1 + 1 * 2^2 + 1 * 2^3 = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。

　　然而，由于1111才4位，是以我們必須直接記住它每一位的權值，并且是從高位往低位記，：8、4、2、1。即，最高位的權值為2^3 = 8，然後依次是 2^2 = 4，2^1=2， 2^0 = 1。

　　記住8421，對于任意一個4位的二進制數，我們都可以很快算出它對應的10進制值。

　　下面列出四位二進制數xxxx 所有可能的值（中間略過部分）

　　僅4位的2進制數 快速計算方法 十進制值 十六進值

　　1111 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 F

　　1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14 E

　　1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 D

　　1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 C

　　1011 = 8 + 0 + 2+ 1 = 11 B

　　1010 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10 A

　　1001 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9 9

　　....

　　0001 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 1

　　0000 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 0

　　二進制數要轉換為十六進制，就是以4位一段，分别轉換為十六進制。

　　如(上行為二制數，下面為對應的十六進制)：

　　1111 1101 ， 1010 0101 ， 1001 1011

　　F D ， A 5 ， 9 B

　　反過來，當我們看到 FD時，如何迅速将它轉換為二進制數呢？

　　先轉換F：

　　看到F，我們需知道它是15（可能你還不熟悉A～F這五個數），然後15如何用8421湊呢？應該是8 + 4 + 2 + 1，是以四位全為1 ：1111。

　　接着轉換 D：

　　看到D，知道它是13，13如何用8421湊呢？應該是：8 + 4 + 1,即：1101。

　　是以,FD轉換為二進制數，為： 1111 1101

　　由于十六進制轉換成二進制相當直接，是以，我們需要将一個十進制數轉換成2進制數時，也可以先轉換成16進制，然後再轉換成2進制。

　　比如，十進制數 1234轉換成二制數，如果要一直除以2，直接得到2進制數，需要計算較多次數。是以我們可以先除以16，得到16進制數:

　　1234 1234/16 77 2

　　77 77/16 4 13 (D)

　　4 4/16 0 4

　　結果16進制為： 0x4D2

　　然後我們可直接寫出0x4D2的二進制形式： 0100 1101 0010。

　　其中對映關系為：

　　0100 -- 4

　　1101 -- D

　　0010 -- 2

　　同樣，如果一個二進制數很長，我們需要将它轉換成10進制數時，除了前面學過的方法是，我們還可以先将這個二進制轉換成16進制，然後再轉換為10進制。

　　下面舉例一個int類型的二進制數：

　　01101101 11100101 10101111 00011011

　　我們按四位一組轉換為16進制： 6D E5 AF 1B

　　再轉換為10進制：6*16^7+D*16^6+E*16^5+5*16^4+A*16^3+F*16^2+1*16^1+B*16^0=1,843,769,115