進制轉換

（一）進位計數制的基本概念

　　将數字元号按序排列成數位，并遵照某種由低位到高位進位的方法進行計數，來表示數值的方式，稱作進位計數制。比如，我們常用的是十進位計數制，簡稱十進制；就是按照“逢十進一”的原則進行計數的。

　　進位計數制的表示主要包含三個基本要素：數位、基數和位權。數位是指數位在一個數中所處的位置；基數是指在某種進位計數制中，每個數位上所能使用的數位的個數，例如十進位計數制中，每個數位上可以使用的數位為0、1、2、3…9十個數位，即其基數為10；位權是指一個固定值，是指在某種進位計數制中，每個數位上的數位所代表的數值的大小，等于在這個數位上的數位乘上一個固定的數值，這個固定的數值就是這種進位計數制中該數位上的位權。數位所處的位置不同，代表數的大小也不同。例如在十進位計數制中，小數點左邊第一位位權為 10^0，左邊第二位位權為 10^1；左邊第三位位權為10^2；…。 小數點右邊第一位位權為10^-1；小數點右邊第二位位權為10^-2；…以次類推。

１．十進制

十進位計數制簡稱十進制；有十個不同的數位符号：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。每個數位符号根據它在這個數中所處的位置（數位），按“逢十進一”來決定其實際數值，即各數位的位權是以10為底的幂次方。

例如：(215.48)10 = 2×10^2＋1×10^1＋5×10^0＋4×10^-1＋8×10^-2

２．二進制

二進位計數制簡稱二進制；有二個不同的數位符号：0、1。每個數位符号根據它在這個數中所處的位置（數位），按“逢二進一”來決定其實際數值，即各數位的位權是以2為底的幂次方。

例如：(11001. 01)2 = 1×2^4＋1×2^3＋0×2^2＋0×2^1＋1×2^0＋0×2^-1＋1×2^-2 = (25.25)10

３．八進制

八進位計數制簡稱八進制；有八個不同的數位符号：0、1、2、3、4、5、6、7。每個數位符号根據它在這個數中所處的位置（數位），按“逢八進一”來決定其實際數值，即各數位的位權是以8為底的幂次方。

例如：(162.4)8 = 1×8^2＋6×8^1＋2×8^0＋4×8^-1 = (114.5)10

４．十六進制

十六進位計數制簡稱十六進制；有十六個不同的數位符号：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。每個數位符号根據它在這個數中所處的位置（數位），按“逢十六進一”來決定其實際數值，即各數位的位權是以16為底的幂次方。

例如：(2BC.48)16 = 2×16^2＋B×16^1＋C×16^0＋4×16^-1＋8×16^-2 = (700.28125)10

　　總結以上四種進位計數制，可以将它們的特點概括為每一種計數制都有一個固定的基數，每一個數位可取基數中的不同數值；每一種計數制都有自己的位權，并且遵循“逢基數進一”的原則。　

（二）進位計數制之間的轉換

1、二進制轉換到十進制簡易方法：（10110101）2此數從低位到高位分别在對應數字下寫上：2021222324252627對（1 2 4 8 16 32 64 128）對應相乘後相加（紅色數字相加）得：（181）10   

2.不同進位計數制之間的轉換，實質是基數轉換。一般轉換的原則是：如果兩個有理數相等，則兩個數的整數部分和小數部分一定分别相等。是以，數制之間進行轉換時，通常對整數部分和小數部分分别進行轉換。

　１．非十進制數（N 進制數）轉換為十進制數　　方法：将各個N進制數按權展開求和即可。

例如：

(10110.11)2 = 1×2^4＋0×2^3＋1×2^2＋1×2^1＋0×2^0＋1×2^-1＋1×2^-2=(22.75)10

(125.24)8 = 1×8^2＋2×8^1＋5×8^0＋2×8^-1＋4×8^-2=(85.3125)10 

(3A8.48)16 = 3×16^2＋A×16^1＋8×16^0＋4×16^-1＋8×16^-2=(936.28125)10

　２．十進制數轉換為非十進制數（N進制數）　　方法：整數部分采取“除基數取餘法”，小數部分采取“乘基數取整法”。

1)十進制轉換為二進制數　　方法：整數部分采取“除2取餘法”，小數部分采取“乘2取整法”。

例如：将十進制(123.75) 10轉換為二進制數

整數部分123轉換如下：

        餘數.小數點

2 123      1   整數低位

2  61      1

2  30      0

2  15      1

2   7      1

2   3      1

2   1      1

    0      1   整數高位

小數部分0.75轉換如下：

    小數點.整數    0.75

          |       *   2

小數首位  | 1      1.50

          |        0.50

小數末位  | 1      1.00

                     00——為零，轉換結束

即 (123.75)10 = (1111011.11)2

2)十進制轉換為八進制數

方法：整數部分采取“除8取餘法”，小數部分采取“乘8取整法”。

例如：将十進制(123.75) 10轉換為八進制數

             餘數.小數點

8 | 123          |  整數低位

8 |  15        3 |

8 |   1        7 |

      0        1 |  整數高位

小數點.整數       0.75

      |        *     8

      |  6        6.00

      |             00——為零，轉換結束

即(123.75)10 = (173.6)8

3)     十進制轉換為十六進制數  方法：整數部分采取“除16取餘法”，小數部分采取“乘16取整法”。

例如：将十進制(123.75) 10轉換為16進制數

              餘數.小數點

16 | 123          |  整數低位

16 |  7         B |

       0        7 |  整數高位

      |        *    16

      |  C        12.0

      |              0——為零，轉換結束

即(123.75)10 = (7B.C)16

３．非十進制數之間的互相轉換

1) 八進制數與二進制數之間的轉換

由于一位八進制數相當于三位二進制數，是以，要将八進制數轉換成二進制數時，隻需以小數點為界，向左或向右每一位八進制數用相應的三位二進制數取代即可。如果不足三位，可用零補足之。反之，二進制數轉換成相應的八進制數，隻是上述方法的逆過程，即以小數點為界，向左或向右每三位二進制數用相應的一位八進制數取代即可。

例如：将八進制數(357.162)8轉換成二進制數。

       3     5     7  ·  1     6     2

     011   101   111     001   110   010

即(357.162)8 = (11101111.0011101)2

　例如：将二進制數(101011110.10110001)2轉換成八進制數。

101   011   110   ·   101   100    010

 5     3     6        5     4      2

即(101011110.10110001)2 = (536.542)8

2)十六進制數與二進制數之間的轉換

由于一位十六進制數相當于四位二進制數，是以，要将十六進制數轉換成二進制數時，隻需以小數點為界，向左或向右每一位十六進制數用相應的四位二進制數取代即可。如果不足四位，可用零補足之。反之，二進制數轉換成相應的十六進制數，隻是上述方法的逆過程，即以小數點為界，向左或向右每四位二進制數用相應的一位十六進制數取代即可。

例如：将十六進制數(5AB.8CE)16轉換成二進制數。

       5      A      B  ·    8      C      E

     0101   1010   1011    1000   1100   1110

即(5AB.8CE)16 = (10110101011.10001100111)2

例如：将二進制數(1100101001011.001100101)2轉換成十六進制數。

      0001  1001   0100    1011 ·   0011   0010    1000

        1     9      4      B         3      2       8

即(1100101001011.001100101)2 = (194B.328)16

本文轉自 風雨蕭條 51CTO部落格，原文連結：http://blog.51cto.com/1095221645/1553533，如需轉載請自行聯系原作者