$$x^2-Dy^2=1,\ D為正整數$$
特解是指佩爾方程的最小整數解，容易發現當x最小的時候y也同樣達到最小。
在一般情況下，佩爾方程的特解是通過暴利枚舉方法得到的，本文将介紹如何用應用連分數法求特解。
本文将不涉及證明，隻介紹方法。
三、連分數法
一個實數的簡單連分數表示，是指将一個實數用以下方法表示：
$$x = a_0+\frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+...}}}$$
可以把連分數簡記為：$x = [a_0;a_1, a_2, a_3...]$.
有理數的連分數有兩種表示形式：
$$\frac{p}{q} = [a_0;a_1, a_2, a_3, ...,a_n,1] 或 [a_0;a_1, a_2, a_3, ..., a_n+1]$$
所有無限連分數都是無理數，而所有無理數都可以用一種精确的方式表示成無限連分數，可以用這種方法逼*，無理數的值。
可以證明：一個非完全*方數的*方根是以周期性呈現的：
比如：
簡寫為：
$$\sqrt 22 = [4;1,2,4,2,1,8]$$
在之後就會循環出現1,2,4,2,1,8
我們不妨這樣記這種連分數的形式：
$$\sqrt22 = [4;<1,2,4,2,1,8>]$$
顯然循環節的長度是6
并且還有個重要的特點：這個循環節一定是 $a_1$ 開始，且最後一個數 $a_n$ 一定是 $a_0$ 的2倍。
我們将 $\sqrt D$ 寫成連分數的形式：（相當于用連分數無線逼**方根）
$$\sqrt D = [a_0;<a_1, a_2, ..., a_{n-1},2a_0>]$$
并且我們記：
$$\frac{p}{q} = [a_0; a_1, a_2, ..., a_{n-1}]$$
（關于計算p,q：隻要按照連分數的展開形式，疊代計算即可）
其中如果記循環節長度為s
那麼有如下結論：
1、如果s為偶數時。最小特解為：
$$x_0 = p, y_0 = q$$
2、如果s為奇數時，最小特解為：
$$x_0 = 2p^2+1, y_0 = 2pq$$
我們希望得到準确的連分數展開，那麼關鍵在于不用浮點型計算。
接下來以 $\sqrt {22}$ 為例：
按照這種方式，我們計算出了的連分數：$\sqrt {22} = [4;<1,2,4,2,1,8>]$.
然後可以計算出來：
$$\frac{197}{42} = [4;1,2,4,2,1]$$
由于循環節長度6是偶數，那麼佩爾方程 $x^2 -22y^2 = 1$ 的最小特解是：$x_0 = 197, y_0 = 42$.
之後我們參照上面的例子，很容易設計出計算連分數的算法。
結果很大1000以内好多結果都超long long了。。。要改成大數才行。。。
一個java打表的代碼：
View Code
個性簽名：時間會解決一切