矩阵论 第一章 基础概念和定律

数学基础之矩阵篇

理论概念: 思考的时候可能有用

数域: 一个数集对四则运算封闭(四则运算的结果仍在数集内)则称之为数域. q,r,c都是数域,而z不是数域因为对除法不封闭.

加群: 一个非空集合v, 若v中有一种规则称之为加法”+”, 满足

交换律 a+b=b+a

结合律 a+b+c=a+(b+c)

存在零元 (任意u∈v有u+0=u) 

存在唯一负元 (任意u∈v有唯一-u使 u + (-u) =0).

则称v在加法运算下成一个加群.记为(v,+)

线性空间(或称向量空间): 对于加群 (v,+) 和数域 f,若有f对v的数乘规则,使 任意a∈f, u∈v, 有v中唯一元 au 与之对应,且满足:

数乘对加法的分配律 a(u+v) = au+av

数乘对数的分配率 (a+b)u = au+bu

数乘结合律 abu = a(bu)

数1特性 1u=u

则称v是数域f上的线性空间, v中的元称为向量,f中的元称为标量.

由此可知线性空间v就是一个能构成加群的非空向量集合, 满足和标量的运算关系. 说v是f的一个线性空间,就是说f中标量作用于向量空间v上满足以上关系.

线性变换:v,w是f上的线性空间, 映射t: v→w如果具有以下性质(即保持运算): 任意a,b∈f, x,y∈v, 有t(ax+by) = atx + bty,则称t为v到w的一个线性映射. 而当v=w,则称t为v上的一个线性变换.线性变换可以用矩阵来表示, 一组基下,线性变换和矩阵是一一对应的关系. 不同基下,同一个线性变换的矩阵相似.

同构: v,w是f上的线性空间, 若存在映射f:v→w 满足: 1) f一一对应; 2) f是一个线性映射(满足保持运算性质). 则称v和w是同构的.同构空间维数相同.

直和: 如果w1和w2的和空间 w1+w2 中任意向量均唯一地表示成w1中一个和w2中一个向量之和,则w1+w2称为w1与w2的直和. 直和 等价于 w1+w2中零元表示法唯一  等价于 w1∩w2={0} 等价于 dim(w1+w2) = dimw1 + dimw2.

秩, 特征值和特征向量不用解释了.

等价: a经过有限次初等变换得到b则a,b等价.

内积空间:

设v是r上的线性空间,若任意x,y∈v有一种规则使之对应一个实数, 用(x,y)表示,称之为内积,满足:

对称性: (x,y)=(y,x)

可加性: (x+y, z) = (x,z) + (y,z)

齐次性: (kx, y) = k(x,y)  k∈r

非负性: (x,x) ≥ 0

则称v为实内积空间.有限维的内积空间称为欧氏空间.

酉空间:

设v是c上的有限维线性空间, 把内积空间条件的第一条换成: 1.共轭对称性: (x,y) = (y,x)的共轭, 其他不变, 则v称为酉空间.

基本属性和定律:

特征值,特征向量:

特征值之和为主对角线元素之和,特征值之积为方阵的行列式. 不同特征值的特征向量互相垂直.

特征值和特征向量是否存在,要看其基域.在r上不一定都有,而在c上都有.

相似矩阵有相同特征多项式和特征值,反之不然.可以通过变换证明. (相似: 存在可逆p使得 a = p^-1 b p)

a的特征多项式中次数为n-1的项的系数为 -Σ(1,n)aii = -tr(a) , 即等于a的迹乘以-1. 一般,n-k次项的系数为所有k级主子式之和乘以(-1)^k. 常数项为(-1)^n |a|.

a的特征多项式为f(λ), 则f(a) = 0矩阵. (a的最小多项式m(a)为使m(a)=0的首一多项式中次数最小的, 所以m(a) | f(a).)

a可对角化 等价于 每个特征值的代数重数等于该特征值的几何重数 等价于 最小多项式无重根.

亏加秩定理:

设v,w是f上的线性空间, 则任意t:v→w, 定义集合 n(t) = {x∈v | tx = 0} (核空间); r(t) = { y∈w | y=tx, x∈v} (像空间). 称dimn(t) 为t的零度(或亏), dimr(t)为t的秩.v为有限维,则 dimn(t) + dimr(t) = dimv.

证明: 思路如下: 设v维度为n, n(t)的一组基为 x1, x2 … xr, 将其补充至v的一组基: x1,x2, .. , xr, xr+1, … , xn. 那么只要做两件事: 1.证明t(xr+1), t(xr+2).. t(xn)线性无关; 2.任意u∈r(t)可以被 t(xr+1), t(xr+2).. t(xn)表示, 则得证. 证明线性无关的要点:利用n(t)和t的性质,把r+1到n转换成1到n,则他们线性无关. 

smith标准型: 

λ-矩阵:以λ的多项式为元素的矩阵称为λ-矩阵,记为a(λ). 其他和普通矩阵相同.

任意a(λ)都等价于一个对角λ-矩阵 diag{d1(λ), d2(λ) … dr(λ) , 0..0}, 对角元素的个数为a的秩, 且任意di(λ) | di+1(λ) . 此对角阵称为a(λ)的smith标准型.每个a(λ)的smith标准型唯一.

smith标准型中的di(λ) (i=1,2,…r) 称为a的不变因子组.初等因子组就是从不变因子组求得的,简单说就是每一个指数大于零的不变因子拆分成不同根的因子,不同的不变因子拆完之后不能合并. 求smith标准型不用化成标准型,只用化成对角线,然后分析其初等因子就可以了.

jordan标准型:(粗略介绍)

初等因子组得到初等因子组之后,对每一个初等因子的根λ,构建一个jordan块, 把所有jordan块当做对角元素则拼成jordan标准型. 

欧氏空间的定理:设v是欧氏空间

平行四边形公式: || x+y ||^2 + || x-y ||^2 = 2(||x||^2 + ||y||^2)  

柯西不等式: |(x,y)| ≤ ||x|| ||y||

其中柯西不等式应用广泛,只要内积定义满足欧氏空间标准,则都满足柯西不等式,如: 一般的内积定义; 又如: | ∫f(x)g(x)dx | ≤ (∫f^2)^1/2 (∫g^2)^1/2 .