矩陣論 第一章 基礎概念和定律

數學基礎之矩陣篇

理論概念: 思考的時候可能有用

數域: 一個數集對四則運算封閉(四則運算的結果仍在數集内)則稱之為數域. q,r,c都是數域,而z不是數域因為對除法不封閉.

加群: 一個非空集合v, 若v中有一種規則稱之為加法”+”, 滿足

交換律 a+b=b+a

結合律 a+b+c=a+(b+c)

存在零元 (任意u∈v有u+0=u) 

存在唯一負元 (任意u∈v有唯一-u使 u + (-u) =0).

則稱v在加法運算下成一個加群.記為(v,+)

線性空間(或稱向量空間): 對于加群 (v,+) 和數域 f,若有f對v的數乘規則,使 任意a∈f, u∈v, 有v中唯一進制 au 與之對應,且滿足:

數乘對加法的配置設定律 a(u+v) = au+av

數乘對數的配置設定率 (a+b)u = au+bu

數乘結合律 abu = a(bu)

數1特性 1u=u

則稱v是數域f上的線性空間, v中的元稱為向量,f中的元稱為标量.

由此可知線性空間v就是一個能構成加群的非空向量集合, 滿足和标量的運算關系. 說v是f的一個線性空間,就是說f中标量作用于向量空間v上滿足以上關系.

線性變換:v,w是f上的線性空間, 映射t: v→w如果具有以下性質(即保持運算): 任意a,b∈f, x,y∈v, 有t(ax+by) = atx + bty,則稱t為v到w的一個線性映射. 而當v=w,則稱t為v上的一個線性變換.線性變換可以用矩陣來表示, 一組基下,線性變換和矩陣是一一對應的關系. 不同基下,同一個線性變換的矩陣相似.

同構: v,w是f上的線性空間, 若存在映射f:v→w 滿足: 1) f一一對應; 2) f是一個線性映射(滿足保持運算性質). 則稱v和w是同構的.同構空間維數相同.

直和: 如果w1和w2的和空間 w1+w2 中任意向量均唯一地表示成w1中一個和w2中一個向量之和,則w1+w2稱為w1與w2的直和. 直和 等價于 w1+w2中零元表示法唯一  等價于 w1∩w2={0} 等價于 dim(w1+w2) = dimw1 + dimw2.

秩, 特征值和特征向量不用解釋了.

等價: a經過有限次初等變換得到b則a,b等價.

内積空間:

設v是r上的線性空間,若任意x,y∈v有一種規則使之對應一個實數, 用(x,y)表示,稱之為内積,滿足:

對稱性: (x,y)=(y,x)

可加性: (x+y, z) = (x,z) + (y,z)

齊次性: (kx, y) = k(x,y)  k∈r

非負性: (x,x) ≥ 0

則稱v為實内積空間.有限維的内積空間稱為歐氏空間.

酉空間:

設v是c上的有限維線性空間, 把内積空間條件的第一條換成: 1.共轭對稱性: (x,y) = (y,x)的共轭, 其他不變, 則v稱為酉空間.

基本屬性和定律:

特征值,特征向量:

特征值之和為主對角線元素之和,特征值之積為方陣的行列式. 不同特征值的特征向量互相垂直.

特征值和特征向量是否存在,要看其基域.在r上不一定都有,而在c上都有.

相似矩陣有相同特征多項式和特征值,反之不然.可以通過變換證明. (相似: 存在可逆p使得 a = p^-1 b p)

a的特征多項式中次數為n-1的項的系數為 -Σ(1,n)aii = -tr(a) , 即等于a的迹乘以-1. 一般,n-k次項的系數為所有k級主子式之和乘以(-1)^k. 常數項為(-1)^n |a|.

a的特征多項式為f(λ), 則f(a) = 0矩陣. (a的最小多項式m(a)為使m(a)=0的首一多項式中次數最小的, 是以m(a) | f(a).)

a可對角化 等價于 每個特征值的代數重數等于該特征值的幾何重數 等價于 最小多項式無重根.

虧加秩定理:

設v,w是f上的線性空間, 則任意t:v→w, 定義集合 n(t) = {x∈v | tx = 0} (核空間); r(t) = { y∈w | y=tx, x∈v} (像空間). 稱dimn(t) 為t的零度(或虧), dimr(t)為t的秩.v為有限維,則 dimn(t) + dimr(t) = dimv.

證明: 思路如下: 設v次元為n, n(t)的一組基為 x1, x2 … xr, 将其補充至v的一組基: x1,x2, .. , xr, xr+1, … , xn. 那麼隻要做兩件事: 1.證明t(xr+1), t(xr+2).. t(xn)線性無關; 2.任意u∈r(t)可以被 t(xr+1), t(xr+2).. t(xn)表示, 則得證. 證明線性無關的要點:利用n(t)和t的性質,把r+1到n轉換成1到n,則他們線性無關. 

smith标準型: 

λ-矩陣:以λ的多項式為元素的矩陣稱為λ-矩陣,記為a(λ). 其他和普通矩陣相同.

任意a(λ)都等價于一個對角λ-矩陣 diag{d1(λ), d2(λ) … dr(λ) , 0..0}, 對角元素的個數為a的秩, 且任意di(λ) | di+1(λ) . 此對角陣稱為a(λ)的smith标準型.每個a(λ)的smith标準型唯一.

smith标準型中的di(λ) (i=1,2,…r) 稱為a的不變因子組.初等因子組就是從不變因子組求得的,簡單說就是每一個指數大于零的不變因子拆分成不同根的因子,不同的不變因子拆完之後不能合并. 求smith标準型不用化成标準型,隻用化成對角線,然後分析其初等因子就可以了.

jordan标準型:(粗略介紹)

初等因子組得到初等因子組之後,對每一個初等因子的根λ,建構一個jordan塊, 把所有jordan塊當做對角元素則拼成jordan标準型. 

歐氏空間的定理:設v是歐氏空間

平行四邊形公式: || x+y ||^2 + || x-y ||^2 = 2(||x||^2 + ||y||^2)  

柯西不等式: |(x,y)| ≤ ||x|| ||y||

其中柯西不等式應用廣泛,隻要内積定義滿足歐氏空間标準,則都滿足柯西不等式,如: 一般的内積定義; 又如: | ∫f(x)g(x)dx | ≤ (∫f^2)^1/2 (∫g^2)^1/2 .