在经典电磁学的世界里，我们可以通过四个基本方程——麦克斯韦方程组——来理解电和磁之间的相互作用。这些方程最初由詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clark Maxwell）在19世纪提出，在他的着名论文《论物理力线》（On Physical Lines Of Force）中构成了现代电信、电路等的基础，以回应迈克尔·法拉第（Michael Faraday）对电磁学的实证观察。推导麦克斯韦方程组并不容易，但对于物理和电气工程专业的学生，或者任何喜欢读数学的人来说，这都很棒。在本文中，我将介绍推导这些方程之一的数学方法，也称为高斯电场定律，其数学编写如下：
它告诉我们电场。
我们将从卡伦定律开始推导。让我们考虑空间中的两个电荷，q1和q2。经验观察表明，这些电荷之间的静电与它们之间距离的平方成反比，与两种电荷的乘积成正比。我们可以把它写成一个公式（1），如下所示：
类型 1
其中k是一个常数，与介质的介电常数有关。
类型 2
向量r12实际上是电荷1和2的位移向量之间的差异，或者简单地说：
类型 3
单位向量定义为：
类型 4
我们现在将库仑书写为：
类型 5
现在，根据牛顿第三定律，我们知道力在相反的方向上有相同大小的反作用力，所以我们可以这样写：
类型 6
此外，电场E施加到电荷q上的力被定义为F-qE。因此，我们将电场表示为：
类型 7
这实际上意味着什么？这意味着电荷q2产生的电场E1对充电q1仅取决于q2的大小。这个符号可能看起来令人困惑，但我们可以记住这一点，因为电场应该总是从正电荷向外指向，所以如果我们测量正电荷q2周围的电场，电场线将沿着矢量r12（即从q2到q1）指向。许多教科书喜欢删除这个符号并写成如下：
类型 8
但是，必须注意避免混淆。由于来自正电荷Q的电场线是径向向外的（向内为负电荷），因此电场具有完美的球面对称性。根据牛顿第二定律（F-ma），我们知道作用在物体上的净力是作用在物体上的所有力的总和，在电荷的情况下，我们可以很容易地写出：
类型 9
通过相同的推理，我们可以将任何空间中所有电荷产生的总电场写为：
类型 10
因此，在没有任何其他力的情况下，电场总是在力的方向上。这个相当微不足道的发现导致了一个更重要的结果：如果我们在C/ m3中用连续电荷（称为电荷密度（r））替换离散电荷空间q（注意电荷是离散量，但对于大量电荷，我们可以用积分近似和），我们从位置r写下所有坐标r的积分：
类型 11
因此，只要我们知道电荷密度函数（r）是什么，就可以计算出电荷分布引起的任何电场。
现在我们有了场E（r）作为连续电荷密度（r）函数的一般表达式，我们可以开始思考当我们对E（r）进行数学运算时会发生什么。例如，让我们以公式 （11） 中字段的离散度为例
类型 12
方程右侧的色散算子可以自由地放置在三重积分的内部和外部，因为扩散和积分算子都是线性的（例如，如果您将积分视为和，则一堆函数的总和发散与该组函数的发散之和相同）。我们注意到，由于漫反射算子相对于 r 而不是 r' 起作用，因此函数 （r'） 可以移出漫反射算子，即我们将等式重写为：
类型 13
现在，我们将通过了解散点项来解决此问题：
类型 14
什么被简化成某种东西。为了做到这一点，我们将调用弥散定理，即
类型 15
这基本上意味着函数色散的体积积分与函数沿一组法向量 n 的表面积分相同，这些向量始终垂直于表面元素 dS。现在假设我们选择一个半径为R的球体，我们会发现表面的单位向量总是从球体向外指向，以便我们可以写出：
此外|r-r'|。R.现在，球面坐标中的表面积元素为：
类型 16
这意味着色散积分被简化为：
类型 17
这个相当令人惊讶的结果具有非常特殊的含义：公式（14）中的散点项在积分后必须等于等于常量4的函数。这种性质的函数是狄拉克δ-delta函数，即：
类型 18
因此，这表明我们可以定义：
类型 19
结果是：
类型 20
因此，我们现在有了高斯定律的理想方程：
类型21：高斯定律的微分形式
在微分形式中，这个方程告诉我们，通过无限小的空间体积（我们表示为dV）的场E的量等于局部区域的电荷密度除以自由空间的介电速率。通过将其视为积分，我们可以更好地理解：让我们相对于体积积分边：
类型 22
右边的积分只不过是体积V内的总电荷Q。然后，使用漫反射定理，我们将左积分转换为曲面积分：
类型23：高斯定律的积分
在这里，场的总通量E等于被表面S包围的总电荷。为了证明这一点，我们将考虑由以原点为中心的点电荷Q产生的电场，其3D场在球面坐标中径向外（这是我们之前在库仑定律中使用的表达式）：
类型 24
并选取一个以原点为中心的 R 的固定半径的球面，该球面从与之前相同的面径向外：
我们得到：
这个定律最重要的结果是，无论我们在电荷Q周围的哪个位置放置表面S，即使场线与表面方法矢量不对齐，电通量也总是相同的。因此，通过任何表面S的电通量仅取决于包围的电荷Q。例如，假设我们在空间中有一个电荷的离散分布，例如Q，所有qs的总和。来自S的总电通量，即它们周围的任意闭合表面，是：
类型25：电通量
还应该注意的是，表面上的负电荷会消除电通量。考虑一个由两个相等且相反的电荷 q 和 -q 组成的简单偶极子。对于它们周围的任何表面，很容易表明净电通量为零
但是，如果我们通过在每个电荷周围放置两个不相关的表面来计算每个电荷周围的总电通量，我们会发现这些通量将与相同大小相反，即：
因此，由n个子区域组成的区域Ω的总电通量被封闭在Ω中，而只是该区域中所有单个电通量的总和。
类型 26
高斯电场定律为此推导出来。