在經典電磁學的世界裡，我們可以通過四個基本方程——麥克斯韋方程組——來了解電和磁之間的互相作用。這些方程最初由詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（James Clark Maxwell）在19世紀提出，在他的着名論文《論實體力線》（On Physical Lines Of Force）中構成了現代電信、電路等的基礎，以回應邁克爾·法拉第（Michael Faraday）對電磁學的實證觀察。推導麥克斯韋方程組并不容易，但對于實體和電氣工程專業的學生，或者任何喜歡讀數學的人來說，這都很棒。在本文中，我将介紹推導這些方程之一的數學方法，也稱為高斯電場定律，其數學編寫如下：
它告訴我們電場。
我們将從卡倫定律開始推導。讓我們考慮空間中的兩個電荷，q1和q2。經驗觀察表明，這些電荷之間的靜電與它們之間距離的平方成反比，與兩種電荷的乘積成正比。我們可以把它寫成一個公式（1），如下所示：
類型 1
其中k是一個常數，與媒體的介電常數有關。
類型 2
向量r12實際上是電荷1和2的位移向量之間的差異，或者簡單地說：
類型 3
機關向量定義為：
類型 4
我們現在将庫侖書寫為：
類型 5
現在，根據牛頓第三定律，我們知道力在相反的方向上有相同大小的反作用力，是以我們可以這樣寫：
類型 6
此外，電場E施加到電荷q上的力被定義為F-qE。是以，我們将電場表示為：
類型 7
這實際上意味着什麼？這意味着電荷q2産生的電場E1對充電q1僅取決于q2的大小。這個符号可能看起來令人困惑，但我們可以記住這一點，因為電場應該總是從正電荷向外指向，是以如果我們測量正電荷q2周圍的電場，電場線将沿着矢量r12（即從q2到q1）指向。許多教科書喜歡删除這個符号并寫成如下：
類型 8
但是，必須注意避免混淆。由于來自正電荷Q的電場線是徑向向外的（向内為負電荷），是以電場具有完美的球面對稱性。根據牛頓第二定律（F-ma），我們知道作用在物體上的淨力是作用在物體上的所有力的總和，在電荷的情況下，我們可以很容易地寫出：
類型 9
通過相同的推理，我們可以将任何空間中所有電荷産生的總電場寫為：
類型 10
是以，在沒有任何其他力的情況下，電場總是在力的方向上。這個相當微不足道的發現導緻了一個更重要的結果：如果我們在C/ m3中用連續電荷（稱為電荷密度（r））替換離散電荷空間q（注意電荷是離散量，但對于大量電荷，我們可以用積分近似和），我們從位置r寫下所有坐标r的積分：
類型 11
是以，隻要我們知道電荷密度函數（r）是什麼，就可以計算出電荷分布引起的任何電場。
現在我們有了場E（r）作為連續電荷密度（r）函數的一般表達式，我們可以開始思考當我們對E（r）進行數學運算時會發生什麼。例如，讓我們以公式 （11） 中字段的離散度為例
類型 12
方程右側的色散算子可以自由地放置在三重積分的内部和外部，因為擴散和積分算子都是線性的（例如，如果您将積分視為和，則一堆函數的總和發散與該組函數的發散之和相同）。我們注意到，由于漫反射算子相對于 r 而不是 r' 起作用，是以函數 （r'） 可以移出漫反射算子，即我們将等式重寫為：
類型 13
現在，我們将通過了解散點項來解決此問題：
類型 14
什麼被簡化成某種東西。為了做到這一點，我們将調用彌散定理，即
類型 15
這基本上意味着函數色散的體積積分與函數沿一組法向量 n 的表面積分相同，這些向量始終垂直于表面元素 dS。現在假設我們選擇一個半徑為R的球體，我們會發現表面的機關向量總是從球體向外指向，以便我們可以寫出：
此外|r-r'|。R.現在，球面坐标中的表面積元素為：
類型 16
這意味着色散積分被簡化為：
類型 17
這個相當令人驚訝的結果具有非常特殊的含義：公式（14）中的散點項在積分後必須等于等于常量4的函數。這種性質的函數是狄拉克δ-delta函數，即：
類型 18
是以，這表明我們可以定義：
類型 19
結果是：
類型 20
是以，我們現在有了高斯定律的理想方程：
類型21：高斯定律的微分形式
在微分形式中，這個方程告訴我們，通過無限小的空間體積（我們表示為dV）的場E的量等于局部區域的電荷密度除以自由空間的介電速率。通過将其視為積分，我們可以更好地了解：讓我們相對于體積積分邊：
類型 22
右邊的積分隻不過是體積V内的總電荷Q。然後，使用漫反射定理，我們将左積分轉換為曲面積分：
類型23：高斯定律的積分
在這裡，場的總通量E等于被表面S包圍的總電荷。為了證明這一點，我們将考慮由以原點為中心的點電荷Q産生的電場，其3D場在球面坐标中徑向外（這是我們之前在庫侖定律中使用的表達式）：
類型 24
并選取一個以原點為中心的 R 的固定半徑的球面，該球面從與之前相同的面徑向外：
我們得到：
這個定律最重要的結果是，無論我們在電荷Q周圍的哪個位置放置表面S，即使場線與表面方法矢量不對齊，電通量也總是相同的。是以，通過任何表面S的電通量僅取決于包圍的電荷Q。例如，假設我們在空間中有一個電荷的離散分布，例如Q，所有qs的總和。來自S的總電通量，即它們周圍的任意閉合表面，是：
類型25：電通量
還應該注意的是，表面上的負電荷會消除電通量。考慮一個由兩個相等且相反的電荷 q 和 -q 組成的簡單偶極子。對于它們周圍的任何表面，很容易表明淨電通量為零
但是，如果我們通過在每個電荷周圍放置兩個不相關的表面來計算每個電荷周圍的總電通量，我們會發現這些通量将與相同大小相反，即：
是以，由n個子區域組成的區域Ω的總電通量被封閉在Ω中，而隻是該區域中所有單個電通量的總和。
類型 26
高斯電場定律為此推導出來。