电感和RL电路

文章目录

• 1概念
• 1.1闭合
• 1.2 分开
• 2.1案例
• 3交流电路中电感
• 3.1 案例

1概念

如果你有一个电路，并通入电流，则电路会产生磁场，电路中电流发生改变，则磁场发生变化，电路中就会产生感生电动势来抵抗磁通的变化，我们用自感来描述这种能力。

ϕ B = L I （ 1 ） \phi_{_{_B}}=L I（1） ϕB​​​=LI（1）

E = − d ϕ B d t = − L d I d t （ 2 ） E=-\frac{d \phi_{_B}}{d t}=-\frac{L d I}{d t}（2） E=−dtdϕB​​​=−dtLdI​（2）

假设有一个螺线管如下图，通入电流I，半径为r，圈数为N，长度为L

通过安培定律可以推导出

B = U 0 I N l （ 3 ） B=\frac{U_{0} I N}{l}（3） B=lU0​IN​（3）

ϕ B = π r 2 N U 0 I N l = L I （ 4 ） \phi_{B}=\frac{\pi r^{2} NU_{0} I N}{l}=L I（4） ϕB​=lπr2NU0​IN​=LI（4）

L = π r 2 N 2 l u 0 （ 5 ） L=\pi r^{2} \frac{N^{2}}{l} u_{0}（5） L=πr2lN2​u0​（5）

假设线圈有2800匝，半斤为5cm，长度为0.6m，则自感为0.6H，H如Vsec/A,在计算中真空磁导率 u 0 u_{0} u0​=4 π \pi π* 1 0 − 7 10^{-7} 10−7。 u 0 u_{0} u0​的单位使H/m,也可以写Vsec/Am。

1.1闭合

上图为一个串连电感和电阻的电路，当t=0我闭合电路，电路没有电流，电感阻止电流变化，下图为通电后电流变化。

在正常的教科书中通常用基尔霍夫定理，然后其实有磁通的变化要用法拉第电磁感应才是正确的做法。

∮ E ⋅ d l = d ϕ d t = − L d i d t （ 6 ） \oint E \cdot d l=\frac{d \phi}{d t}=-\frac{L d i}{d t}（6） ∮E⋅dl=dtdϕ​=−dtLdi​（6）

这幅图中显示了各个元器件中的电场，其中电感的电场变化为0，这是大多数教材中错误的地方。 − L d I d t -L\frac{dI}{dt} −LdtdI​应该在法拉第电磁感应方程一侧，不应该算在电感的电场变化。起中最好沿电流方向因为这样产生的感应电动势EMF为 − L d I d t -L\frac{dI}{dt} −LdtdI​。不然要思考符号。

0 + I R − V = − L d I d t （ 7 ） 0+I R-V=-\frac{L d I}{d t}（7） 0+IR−V=−dtLdI​（7）

上述方程是唯一正确的方程运用了法拉第电磁感应定律。将上述方程变形。

V − L d I d t = I R （ 8 ） V-L \frac{d I}{d t}=I R（8） V−LdtdI​=IR（8）

这样书写的好处是 d I d t \frac{ d I}{d t} dtdI​是正向的随着时间而增大，注意第二项总与电池电压反向，这是楞次定律的含义，下列为方程的解，其中 i m a x = V / R i_{max}=V/R imax​=V/R，这里是一阶线性非齐次方程求解，准确解法可看同济大学高数书下册278页。

I = I max ⁡ ( 1 − e − R L t ) （ 9 ） I=I_{\max }\left(1-e^{-\frac{R}{L} t}\right)（9） I=Imax​(1−e−LR​t)（9）

当t= L R \frac{L}{R} RL​时电流约为最大值的0.63，为1- 1 e \frac{1}{e} e1​

1.2 分开

上图后半部分为瞬间断开的电流变化，随着电流减少，热量在电阻中以 I 2 R I^{2}R I2R焦耳每秒速度产生。当到某个时刻电流为0，过程结束，我们可以精确的计算出时间函数，在过程中将上面微分方程中v变为0。

L d I d t + I R = 0 （ 10 ） L \frac{d I}{d t}+I R=0 （10） LdtdI​+IR=0（10）

I = I m a x e − R L t （ 11 ） I=I_{{max}} e^{-\frac{R}{L} t}（11） I=Imax​e−LR​t（11）

可以求出在上式中当t=0，i最大，i趋于0,当L/R秒，I为最大值的37%。减少的电流产生的能量是磁场中原本的能量。任何时刻电流都在电阻中产生能量。

∫ 0 ∞ I 2 R d t = I m a x 2 ∫ 0 ∞ e − 2 R L d t R = I m a x 2 L 2 R R = L I m a x 2 2 （ 12 ） \int_{0}^{\infty} I^{2} R d t=I_{max}^2\int_{0}^{\infty}e^{\frac{-2R}{L}}dtR=I_{max}^2\frac{L}{2R}R=\frac{LI_{max}^2}{2}（12） ∫0∞​I2Rdt=Imax2​∫0∞​eL−2R​dtR=Imax2​2RL​R=2LImax2​​（12）

上式可以二次转换，下列式13,14带入12，可得15公式

B = u 0 I N L ( 13 ) B=\frac{u_{0}IN}{L}(13) B=Lu0​IN​(13)

L = π r 2 N 2 l μ 0 ( 14 ) L=\pi r^{2} \frac{N^{2}}{l} \mu_{0}(14) L=πr2lN2​μ0​(14)

L I m a x 2 2 = B 2 2 μ 0 π r 2 l （ 15 ） \frac{LI_{max}^2}{2}=\frac{B^{2}}{2 \mu_{0}} \pi r^{2} l（15） 2LImax2​​=2μ0​B2​πr2l（15）

这可以看出 π r 2 l \pi r^{2} l πr2l为螺线管体积，则左侧为电磁能量密度，同时前面也算过电场的能量密度为 ϵ κ E 2 2 \frac{\epsilon\kappa E^{2} }{2} 2ϵκE2​d单位也是焦耳每立方米，在电场情形下，他代表分配电荷到特定分布所需要的功。磁感代表让一个电流流过纯自感所需要的功，纯自感代表电阻为0，它做功因为电感会抵抗电流的形成，所以我必须做功，两个之间有相似的东西。

2.1案例

上图中电感为30H, 则上式中L/R=30/10=3,则3s后电流为 1 − 1 e 1-\frac{1}{e} 1−e1​为0.63，即使6s后电流为 1 − 1 e 2 1-\frac{1}{e^2} 1−e21​为0.86。此时功率也只为下面电流的74%。9s后也只为最大值的90%。

3交流电路中电感

交流电电压如下(16)，最后可以解出如17的公式。

V = V 0 cos ⁡ ( ω t ) （ 16 ） V=V_{0}\cos(\omega t)（16） V=V0​cos(ωt)（16）

I = V 0 R 2 + ( ω L ) 2 cos ⁡ ( ω t − ϕ ) （ 17 ） I=\frac{V_{0}}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}} \cos (\omega t-\phi)（17） I=R2+(ωL)2

​V0​​cos(ωt−ϕ)（17）

tan ⁡ ϕ = w L R ( 18 ) \tan \phi=\frac{wL}{R}(18) tanϕ=RwL​(18)

在下面方程19中写出了最大电流,其中 ω L \omega L ωL单位使电阻，在意义上也代表中电阻

I = V 0 R 2 + ( ω L ) 2 ( 19 ) I=\frac{V_{0}}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}(19) I=R2+(ωL)2

​V0​​(19)

3.1 案例

如图所示两个线圈可以解释磁悬浮的原理，上方线圈被通入60HZ的交流电，在通电过程中，在上方线圈电压增大时，磁通增大，瞬时下方EMF与上发线圈电压方向相反，如没有大电感，产生斥力。但是当上方电压下降则会产生吸力如下图所示

当红色线圈中电流增大，下方产生瞬时EMF是与之相反的，当电流减少，瞬时EMF为正。当蓝色导体电流与电压没有相位差时，一半时间相互吸引，一半时间相互排斥。

如果因为电感有一半时间存在相位差，则如下图，所有时间都是排斥

在下图条件中线圈因自感有25度相位差，则产生的力平均为阻力，当将导体圆环放入可以平衡，但是当导体有裂缝时，导体中EMF不变但，导体的 w L / R wL/R wL/R因R无穷大没有相位差，一半时间吸引，一半时间排斥，但是感应电流很小，吸引力和排斥力都接近于0.