[SCU 4532] interesting （数论+技巧+SPFA转移DP）

SCU - 4532

a1∗b1+a2∗b2...+an∗bn=B

给定 a1...an ， Bmax 、 Bmin

问有多少个B， Bmin<=B<=Bmax ，

使得 b1...bn 存在非负整数解

首先问题可以转化为在区间 [0,Bmax] 有多少个 B满足条件

如果能解决这个，原问题的用 [0,Bmax] 的答案减去 [0,Bmin−1] 的即可

接下来有一个很关键的步骤，也是这题的神来之笔

之所以说神，是因为目前我还没深刻理解这么做的道理 (2016.7.14)

将等式两边 moda1 （a序列中的任意一个数）

这样使得 [0,Bmax] 中的数按 moda1 的余数划分成若干个等价类

于是题目就转化为了求每个等价类中最小的那个数

因为知道了最小的数 x ，那么这个等价类的大小就可以用 Bmax−xa1+1来计算

然后把每个等价类的答案累加起来即为结果

设 dp[m]=b ，即 B%a1=m 这个等价类中，最小的那个数是 b

初始条件 dp[0]=0，在当前数 u 的基础上不断增加 ai，去更新 dp[(u+ai)%a1] 的状态

转移方程为 for i=2..n:dp[(u+ai)%a1]=min(dp[u]+ai)

由于这个 dp过程可能有环，所以采用 SPFA的方式进行转移

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
using namespace std;
typedef pair<int,int> Pii;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef double DBL;
typedef long double LDBL;
#define MST(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define CLR(a) MST(a,0)
#define Sqr(a) ((a)*(a))

const int maxn=, maxa=+;
const LL INF=;
int N;
LL bmin, bmax;
LL A[maxn];
LL dp[maxa];
bool inq[maxa];

LL Get(LL,LL,int);

int main()
{
    #ifdef LOCAL
    freopen("in.txt", "r", stdin);
//  freopen("out.txt", "w", stdout);
    #endif

    int T;
    scanf("%d", &T);
    for(int ck=; ck<=T; ck++)
    {
        scanf("%d%lld%lld", &N, &bmin, &bmax);
        for(int i=; i<=N; i++) scanf("%lld\n", &A[i]);
        sort(A+, A++N);
        if(A[]==)
        {
            puts("0");
            continue;
        }
        MST(dp,);
        CLR(inq);
        dp[]=;
        inq[]=;
        queue<LL> que;
        que.push();
        while(que.size())
        {
            LL u=que.front(); que.pop();
            for(int i=; i<=N; i++)
            {
                LL v = (u+A[i])%A[];
                if(dp[v] > dp[u]+A[i])
                {
                    dp[v] = dp[u]+A[i];
                    if(!inq[v])
                    {
                        inq[v]=;
                        que.push(v);
                    }
                }
            }
            inq[u]=;
        }
//      for(int i=0; i<A[1]; i++) printf("%lld ", dp[i]); puts("");
        LL ans=;
        for(int i=; i<A[]; i++)
        {
            ans += Get(bmax,dp[i],A[]) - Get(bmin-,dp[i],A[]);
        }
        cout << ans << '\n';
    }
    return ;
}

LL Get(LL R, LL L, int r)
{
    if(R<L) return ;
    return (R-L)/r+;
}