洛谷P8127 [BalticOI 2021 Day2] The Xana coup 题解 树形DP

题目链接：​​https://www.luogu.com.cn/problem/P8127​​

题目大意：给定一棵包含 \(n\) 个节点的树，树上每个点都有一个权值，节点 \(i\) 的权值为 \(a_i(a_i \in \{0,1\})\)。每次可以选择树上一个点，将这个点以及与其相邻的所有点的权值取反（\(0\) 变成 \(1\)，\(1\) 变成 \(0\)）。问：最少需要几次操作能够让树上所有点的权值都变为 \(0\)？

我的思路：

首先是树形DP，每个节点 \(u\) 对应 \(4\)

• \(f_{u,0}\) 表示节点权值为 \(0\)，没有对节点进行操作时对应的最小操作次数；
• \(f_{u,1}\) 表示节点权值为 \(1\)，没有对节点进行操作时对应的最小操作次数；
• \(f_{u,2}\) 表示节点权值为 \(0\)，有对节点进行操作时对应的最小操作次数；
• \(f_{u,3}\) 表示节点权值为 \(1\)，有对节点进行操作时对应的最小操作次数。

上述所有状态（即 \(f_{u,0},f_{u,1},f_{u,2},f_{u,3}\)）因为对于节点 \(u\) 的非子孙节点来说，它们是没有办法修改节点 \(u\) 的子孙节点的状态的，所以所有的 \(f_{u,i}(0 \le i \le 3)\) 对应的状态还包含的一个信息是 —— 节点 \(u\) 的所有子孙节点当前的权值都为 \(0\)。

同时，这些操作都不考虑父节点的影响（因为我这里的状态都是根据子节点的状态推导当前节点的状态）。

除此之外，我用 \(f_{u,i} = +\infty\) 来表示状态 \(f_{u,i}\)

然后就可以推导所有的状态了。

叶子节点

对于叶子节点 \(u\)

• 如果 \(a_u = 1\)（也就是原始节点的权值为 \(1\)），则：

• \(f_{u,0} = +\infty\)（因为叶子节点不操作的话无法让节点权值变成 \(0\)）
• \(f_{u,1} = 0\)（因为本身节点权值就为 \(1\)）
• \(f_{u,2} = 1\)（因为操作一次恰好让节点权值变成 \(0\)）
• \(f_{u,3} = +\infty\)（因为操作一次之后节点权值变成了 \(0\)，而不是 \(1\)）

• 如果 \(a_u = 0\)（也就是原始节点的权值为 \(0\)），则：

• \(f_{u,0} = 0\)（因为本身节点权值就为 \(0\)）
• \(f_{u,1} = +\infty\)（因为叶子节点不操作的话无法让节点权值变成 \(1\)）
• \(f_{u,2} = +\infty\)（因为操作一次之后节点权值变成了 \(1\)，而不是 \(0\)）
• \(f_{u,3} = 1\)（因为操作一次恰好让节点权值变成 \(1\)）

非叶子节点

对于当前节点 \(u\)

• 如果选择不操作，则它的子节点的状态必须都是 \(0\)（设子节点为 \(v\)，则此时只跟 \(f_{v,0}\)、\(f_{v,2}\)
• 如果选择操作，则它的子节点的状态必须都是 \(1\)（设子节点为 \(v\)，则此时只跟 \(f_{v,1}\)、\(f_{v,3}\)

但是这里有一个需要思考的问题，就是：当前节点 \(u\)

影响主要在于 —— 子节点中操作过的点是奇数个还是偶数个。

所以可以额外定义四个状态：\(g_{i,0}, g_{i,1}, h_{i,0}, h_{i,1}\)，这四个状态是对于当前节点 \(u\) 来说的。对于当前节点 \(u\)，设其有 \(m\)

• \(g_{i,0}\) 表示节点 \(u\) 的前 \(i\) 个子节点全都是 \(0\) 且有偶数个操作过时对应的最少操作次数（偶数个操作过相当于对节点 \(u\) 的状态没影响，奇数个操作过就会对节点 \(u\)
• \(g_{i,1}\) 表示节点 \(u\) 的前 \(i\) 个子节点全都是 \(0\)
• \(h_{i,0}\) 表示节点 \(u\) 的前 \(i\) 个子节点全都是 \(1\)
• \(h_{i,1}\) 表示节点 \(u\) 的前 \(i\) 个子节点全都是 \(1\)

首先：

• \(g_{0,0} = h_{0,0} = 0\)
• \(g_{0,1} = h_{0,1} = +\infty\)

其次，当 \(i \gt 0\) 时，（设节点 \(u\) 的第 \(i\) 个子节点为 \(v\)，则）有：

• \(g_{i,0} = \min \{ g_{i-1,0} + f_{v,0}, g_{i-1,1} + f_{v,2} \}\)
• \(g_{i,1} = \min \{ g_{i-1,0} + f_{v,2}, g_{i-1,1} + f_{v,0} \}\)
• \(h_{i,0} = \min \{ h_{i-1,0} + f_{v,1}, h_{i-1,1} + f_{v,3} \}\)
• \(h_{i,1} = \min \{ h_{i-1,0} + f_{v,3}, h_{i-1,1} + f_{v,1} \}\)

当然我们需要的只有最终计算出来的 \(g_{m,0}, g_{m,1}, h_{m,0}, h_{m,1}\) 这四个状态（其中 \(m\) 是当前节点 \(u\)

此时再分别讨论 \(a_u\) 是 \(1\) 还是 \(0\)

当 \(a_u = 1\)

• \(f_{u,0} = g_{m,1}\)（因为本身是 \(1\) 且不操作，要变成 \(0\)，所以需要子节点中是 \(0\)
• \(f_{u,1} = g_{m,0}\)（因为本身就是 \(1\) 且不操作，所以需要子节点中是 \(0\)
• \(f_{u,2} = 1 + h_{m,0}\)（因为本身是 \(1\)，操作一次自己变成 \(0\)，所以需要子节点是 \(1\)
• \(f_{u,3} = 1 + h_{m,1}\)（因为本身是 \(1\)，操作一次会变成 \(0\)，所以需要子节点是 \(1\)

当 \(a_u = 0\)

• \(f_{u,0} = g_{m,0}\)（因为本身是 \(0\) 且不操作，所以需要子节点中是 \(0\)
• \(f_{u,1} = g_{m,1}\)（因为本身是 \(0\) 且不操作，要变成 \(1\)，所以需要子节点中是 \(0\)
• \(f_{u,2} = 1 + h_{m,1}\)（因为本身是 \(0\)，操作一次会变成 \(1\)，所以需要子节点是 \(1\)
• \(f_{u,3} = 1 + h_{m,0}\)（因为本身是 \(0\)，操作一次自己变成 \(1\)，所以需要子节点是 \(1\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 5;
const int INF = (1<<29);
int n, a[maxn], f[maxn][4], g[maxn][2], h[maxn][2];
vector<int> e[maxn];

/**
f[u][0] 点权为 0，点未操作
f[u][1] 点权为 1，点未操作
f[u][2] 点权为 0，点有操作
f[u][3] 点权为 1，点有操作
*/

void dfs(int u, int p) {
    int sz = e[u].size();
    if (sz == 1 && u != 1) {    // 叶子节点
        if (a[u] == 1) {
            f[u][0] = INF;
            f[u][1] = 0;
            f[u][2] = 1;
            f[u][3] = INF;
        }
        else {  // a[u] == 0
            f[u][0] = 0;
            f[u][1] = INF;
            f[u][2] = INF;
            f[u][3] = 1;
        }
        return;
    }
    vector<int> tmp;
    for (auto v : e[u])
        if (v != p)
            dfs(v, u), tmp.push_back(v);
    int m = tmp.size();
    g[0][0] = h[0][0] = 0;
    g[0][1] = h[0][1] = INF;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int v = tmp[i-1];
        g[i][0] = min(INF, min(g[i-1][0] + f[v][0], g[i-1][1] + f[v][2]));
        g[i][1] = min(INF, min(g[i-1][0] + f[v][2], g[i-1][1] + f[v][0]));
        h[i][0] = min(INF, min(h[i-1][0] + f[v][1], h[i-1][1] + f[v][3]));
        h[i][1] = min(INF, min(h[i-1][0] + f[v][3], h[i-1][1] + f[v][1]));
    }
    if (a[u] == 1) {
        f[u][0] = g[m][1];
        f[u][1] = g[m][0];
        f[u][2] = min(INF, 1 + h[m][0]);
        f[u][3] = min(INF, 1 + h[m][1]);
    }
    else {
        f[u][0] = g[m][0];
        f[u][1] = g[m][1];
        f[u][2] = min(INF, 1 + h[m][1]);
        f[u][3] = min(INF, 1 + h[m][0]);
    }
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int u, v;
        scanf("%d%d", &u, &v);
        e[u].push_back(v);
        e[v].push_back(u);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", a+i);
    dfs(1, -1);
    int ans = min(f[1][0], f[1][2]);
    if (ans == INF) puts("impossible");
    else printf("%d\n", ans);
    return 0;
}