ZCMU—1780

1780: LoL？

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Description

校园的生活是美好的，学习之余，大家都有着自己的休闲方式，听音乐，看电影，打游戏什么的，说到游戏，不得不说一个很有意思的游戏，这个游戏中需要两位同志配合一起，开始的时候只能靠攻击小兵挣钱，挣钱的规则是谁最后打死这个小兵那么谁就可以获得25块钱....,某日，一对基佬A,a玩起了这个游戏，现在知道A的攻击速度是每一秒可以攻击小兵n下，a的攻击速度是每一秒可以攻击小兵m下，现在二人都做好了攻击准备，那么最后小兵会是谁打死的？

Input

第一行T(T<=100000),第二行n,m,x(n,m<=10^6)。n表示A的攻速，m表示a的攻速，x（x<=10^9）表示小兵血量（a，A每攻击小兵一次，小兵扣除1滴血

Output

Case #x: y,x是测试编号从1开始，y表示答案，如果A最后打死小兵，y为'A'，若果同时打死，y为'Both',否则y为'a'

Sample Input

4

3 2 1

3 2 2

3 2 3

3 2 4

Sample Output

Case #1: A

Case #2: a

Case #3: A

Case #4: Both

HINT

样例1，小兵血量是1，A在1/3秒攻击小兵，所以A击杀小兵，样例4，1/3秒A攻击小兵，1/2秒a攻击，2/3秒A攻击，2/2,3/3是二者同时攻击

【分析】

从一开始就有感觉是要用到公倍数或者公约数，并且显然有一个优化就是x%(n+m)  也就是多余的整秒的掉血全部去掉，这样就只需要考虑在被打死的那一秒内的情况了。

但是对小数的公约数非常麻烦，那么为什么不考虑把1/3和1/2扩大呢？对2,3这组数据，一秒扩大成6个单位时间，那么攻速为2的人在这六份里攻击了三次，攻速为3的攻击了两次，所以很显然扩大之后两个人的攻速是lcm/m和lcm/n  （当然要记得并不是互换，考虑一下4 6这个情况就知道了。）

这样可以看到，对第i个位置，被打掉的血量就是i/x1+i/x2

这时候就可以考虑二分答案了，如果被打掉的血量比他的剩余血量多，那么说明答案在左边，否则答案在右边，打掉的血量刚好等于剩余血量那么就已经有答案了。

当然要考虑一个特殊情况  也就是说找到的这个时间点刚好两个人同时攻击并且打掉的血量比剩余血量多1，也就是在这一秒被打死了，但是打掉的血量=剩余血量+1  这种情况导致我wa了一次...果然还是自己的思路不够清晰

【代码】

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
  int T;
  scanf("%d",&T);
  long long n,m,x,d,e,f,xx,right,left,mid;
  for(int t =1; t<=T;t++){
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&x);
    x %= (n+m);
    printf("Case #%d: ",t);
    if (x==0) printf("Both\n");
    else
    {
      d=n,e=m;
          while(e!=0)
          {
            f=d%e;
            d=e;
            e=f;
        }
        right=n*m/d;
        d=n;e=m;
        n=right/d;
        m=right/e;
      left=0;
      while (left<=right)
      {
        mid=(left+right)/2;
        xx=mid/n+mid/m;
        if (xx-x==1 && mid%n==0 && mid%m==0) 
        {
          printf("Both\n");goto out;
        }
        if (x==xx)
        {
          if (mid%n==0 && mid%m==0)
          {
            printf("Both\n");goto out;
          }
          if (mid%n==0) 
          {
            printf("A\n");goto out;
          }
          if (mid%m==0)
          {
            printf("a\n");goto out;
          }
          right=mid;
        }
        else
        {
          if (xx>x) right=mid-1;
          else left=mid+1;
        }
      }
      
      out:;
    }
  }
}