天天看点

强连通分量scc

强连通分量scc --- 雨竹清风

1.     强连通分量的定义:

在有向图G中,若对于每一对顶点之间都有路径,就称为强连通图。有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。

2.本文讲的是使用双DFS的方法求scc。

1)第一次DFS时,记录每一个结点遍历完成的时间,为保存完成的顺序我们将其放到一个栈中。栈的实现方法可以用数组来实现。设置一个top变量来记录栈的入栈和出栈的情况,入栈操作可以用top增加,出栈操作可以用top减1来操作。

2)将图逆转,进行第二次DFS。

第二次DFS时需要通过出栈操作,将栈顶元素弹出,从此顶点开始进行DFS,设置一个数组来标记是否已经访问过。

3)然后输出强连通分量。

只要是原图中的强连通分量,在将图逆转之后,此连通分量还会连通。所以使用了双DFS。

栈的作用

是记录第二次DFS时访问的顺序,保证访问同一个强连通分量。

     原图:

强连通分量scc

逆序图:

强连通分量scc

为什么第二遍DFS要逆序开始呢?

从逆序开始,得到的子树恰好是一个强连通分量。因为逆序开始不可能访问到本连通分量之外的顶点。为什么呐?假设反向后的图中存在一条从框bae到cd的边,那么在原图中肯定会有一条从cd到bae的边,所以在第一次DFS时,从c出发可以访问到bae,那么bae的完成时间肯定是比c要早,与b完成时间最晚矛盾,所以不可能存在一条从bae到其他框的边,即从b出发只能访问到本连通分量的顶点。如果不从逆序出发,假设从c出发,那么就不能保证只访问到本连通分量的顶点的性质。

继续阅读