【TopCoder - 13444】—CountTables（第二类斯特林数+容斥原理）

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题意：给定一个 n × m n\times m n×m的矩阵，每个点的数值在 [ 1 , C ] [1,C] [1,C]内，求有多少种方案使所有行和所有列都互不相同

考虑 f [ i ] f[i] f[i]表示前 i i i行 m m m列都不相等的方案数

考虑用总方案容斥掉不合法的方案

i i i个列都不相等的情况是 ( c i m ) {c^i\choose m} (mci​)

考虑减去行相等的情况

考虑把所有相同的行分到一个集合

可以通过枚举集合数量用第二类斯特林数计算

即为 ∑ j = 1 i − 1 S 2 ( i , j ) ∗ f j \sum_{j=1}^{i-1}S_2(i,j)*f_j ∑j=1i−1​S2​(i,j)∗fj​

复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define gc getchar
inline int read(){
	char ch=gc();
	int res=0,f=1;
	while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
	while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
	return f?res:-res;
}
#define re register
#define pb push_back
#define cs const
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define ll long long
const int mod=1e9+7;
inline int add(int a,int b){return (a+=b)>=mod?a-mod:a;}
inline void Add(int &a,int b){(a+=b)>=mod?(a-=mod):0;}
inline int dec(int a,int b){return (a-=b)<0?a+mod:a;}
inline void Dec(int &a,int b){(a-=b)<0?(a+=mod):0;}
inline int mul(int a,int b){return 1ll*a*b>=mod?1ll*a*b%mod:a*b;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){
	for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))(b&1)&&(res=mul(res,a));return res;
}
const int N=4005;
int s[N][N],f[N];
class CountTables{
	public:
	inline int C(int n,int m){
		if(n<m)return 0;
		int res=1;
		for(int i=1;i<=m;i++)Mul(res,n-i+1);
		return res;
	}
	inline int howMany(int n,int m,int c){
		s[0][0]=1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
		s[i][j]=add(s[i-1][j-1],mul(s[i-1][j],j));
		for(int i=1;i<=n;i++){
			f[i]=C(ksm(c,i),m);
			for(int j=1;j<=i-1;j++)Dec(f[i],mul(s[i][j],f[j]));
		}
		return f[n];
	}
};