问题描述
上图所示的Whiskas猫粮由Ben生产。Ben希望尽可能便宜地生产其猫粮，同时确保它们满足罐头上所示的规定的营养分析要求。因此，他们希望改变每种成分的使用量（主要成分是鸡肉，牛肉，羊肉，大米，小麦和凝胶），同时仍要满足其营养标准。
鸡肉，牛肉和羊肉的成本分别为0.013美元，0.008美元和0.010美元，而大米，小麦和凝胶的成本分别为0.002美元，0.005美元和0.001美元。（所有成本均为每克。）在此练习中，我们将忽略维生素和矿物质成分。（无论如何，这些的任何费用都可能很小。）
每种成分都有助于最终产品中蛋白质，脂肪，纤维和盐的总重量。下表列出了每克成分的贡献（以克计）。
| 东西 | 蛋白 | 脂肪 | 纤维 | 盐 |
|---|---|---|---|---|
| 鸡 | 0.100 | 0.080 | 0.001 | 0.002 |
| 牛肉 | 0.200 | 0.100 | 0.005 | 0.005 |
| 羊肉 | 0.150 | 0.110 | 0.003 | 0.007 |
| 白饭 | 0.000 | 0.010 | 0.100 | 0.002 |
| 麦麸 | 0.040 | 0.010 | 0.150 | 0.008 |
| 凝胶 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 |
简化模型的建立
首先，我们将考虑一个简化的问题，以构建一个简单的Python模型。
定义决策变量
假设Whiskas希望仅使用两种成分制作猫食：鸡肉和牛肉。我们将首先定义决策变量：
- x1 = 一罐猫粮中鸡肉的百分比
- x2 = 一罐猫粮中牛肉的比例
制定目标函数
- min 0.013x1+0.008x2
约束条件
这些变量的约束条件是它们必须总计为100，并且满足营养要求：
1.000x1 + 1.000x2 = 100.0
0.100x1 + 0.200x2 >= 8.0
0.080x1 + 0.100x2 >= 6.0
0.001x1 + 0.005x2 <= 2.0
0.002x1 + 0.005x2 <= 0.4
解决方案
要获得此线性程序的解决方案，我们可以使用Python编写一个简短的程序来调用PuLP的建模函数，然后将其调用求解器。这将逐步解释如何编写此Python程序。
pulp.LpProblem(name='NoName', sense=LpMinimize)
,用来建立优化问题,其函数的参数为name：
在lp文件中写入的问题名称；sense：最大或者最小，可为LpMinimize\LpMaximize二者之一。
pulp.LpVariable(name, lowBound=None, upBound=None, cat='Continuous', e=None)
,其函数参数为name：
变量名；lowBound变量下界；upBound变量上界；cat变量类型，可以为LpInteger\LpBinary\LpContinuous三者之一；
e指明变量是否在目标函数和约束中存在，主要用来实现列生成算法。
例如：
LpVariable(“example”, None, 100)
或LpVariable(“example”, upBound = 100)
- 针对此问题的Code
# 1. 建立问题
prob = LpProblem("Bleding Problem", LpMinimize)
# 2. 建立变量
x1 = LpVariable("ChickenPercent", 0, None, LpInteger)
x2 = LpVariable("BeefPercent", 0)
# 3. 设置目标函数
prob += 0.013*x1 + 0.008*x2, "Total Cost of Ingredients per can"
# 4. 施加约束
prob += x1 + x2 == 100, "PercentagesSum"
prob += 0.100*x1 + 0.200*x2 >= 8.0, "ProteinRequirement"
prob += 0.080*x1 + 0.100*x2 >= 6.0, "FatRequirement"
prob += 0.001*x1 + 0.005*x2 <= 2.0, "FibreRequirement"
prob += 0.002*x2 + 0.005*x2 <= 0.4, "SaltRequirement"
# 5.求解
prob.solve()
# 6.打印求解状态
print("Status:",LpStatus[prob.status])
# 7. 打印出每个变量的最优值
for v in prob.variables():
print(v.name, "=", v.varValue)
# 打印最优解的目标函数值
print("Total Cost of Ingredient per can = ", value(prob.objective))
全模型建立
现在，我们将使用所有变量完全解决问题。尽管可以在上面的方法中添加很少的内容来将其实现到Python中，但我们将寻找一种更好的方法，该方法不将问题数据和公式混为一谈。这将使更改其他测试的任何问题数据变得更加容易。我们将通过代数定义问题开始相同的方法：
定义决策变量
确定Whiskas猫食问题的决策变量决策变量是我们罐头中所含不同成分的百分比。
由于罐头为100克，因此这些百分比还代表所含每种成分的克含量。
我们必须正式定义决策变量，并确保陈述我们使用的单位。
- x1 = 一罐猫粮中鸡肉的比例
- x2 = 一罐猫粮中牛肉的比例
- x3 = 一罐猫粮中羊肉的比例
- x4 = 一罐猫粮中白饭的比例
- x5 = 一罐猫粮中麦麸的比例
- x6 = 一罐猫粮中凝胶 的比例
制定目标函数
制定Whiskas猫食问题的目标函数，目的是使每罐猫食的成分总成本最小化。我们知道每种成分每克的成本。我们确定每种成分在罐中的百分比，因此我们必须除以100，再乘以以g为单位的罐的重量。这将使我们获得每种成分的重量（克）
- min 0.013x1+0.008x2 + 0.010x3 + 0.002x4 + 0.005x5 + 0.001x6
约束条件
制定约束Whiskas猫粮问题的约束是：
百分比之和必须组成整个罐（= 100％）。
满足规定的营养分析要求。
“整个罐头”的约束是：
- x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 100
为了满足营养分析的要求，每100克中至少要有8克蛋白质，6克脂肪，但不超过2克纤维和0.4克盐。
为了制定这些约束条件，我们利用了每种成分的上一个贡献表。这使我们能够对成分中蛋白质，
脂肪，纤维和盐的总贡献制定以下约束条件：
- 0.100x1 + 0.200x2 + 0.150x3 + 0.000x4 + 0.040x5 + 0.0x6 >= 8.0
- 0.080x1 + 0.100x2 + 0.110x3 + 0.010x4 + 0.010x5 + 0.0x6 >= 6.0
- 0.001x1 + 0.005x2 + 0.003x3 + 0.100x4 + 0.150x5 + 0.0x6 <= 2.0
- 0.002x1 + 0.005x2 + 0.007x3 + 0.002x4 + 0.008x5 + 0.0x6 <= 0.4
解决方案
在prob定义问题的变量或类型之前，将关键问题数据输入字典。其中包括成分列表，其次是每种成分的成本，
以及四种营养素中每种成分的百分比。这些值是明确列出的，对编程知识很少的人很容易更改。成分是参考键
，数字作为数据。
Ingredients = ['CHICKEN', 'BEEF', 'MUTTON', 'RICE', 'WHEAT', 'GEL']
# A dictionary of the costs of each of the Ingredients is created
costs = {'CHICKEN': 0.013,
'BEEF': 0.008,
'MUTTON': 0.010,
'RICE': 0.002,
'WHEAT': 0.005,
'GEL': 0.001}
# A dictionary of the protein percent in each of the Ingredients is created
proteinPercent = {'CHICKEN': 0.100,
'BEEF': 0.200,
'MUTTON': 0.150,
'RICE': 0.000,
'WHEAT': 0.040,
'GEL': 0.000}
# A dictionary of the fat percent in each of the Ingredients is created
fatPercent = {'CHICKEN': 0.080,
'BEEF': 0.100,
'MUTTON': 0.110,
'RICE': 0.010,
'WHEAT': 0.010,
'GEL': 0.000}
# A dictionary of the fibre percent in each of the Ingredients is created
fibrePercent = {'CHICKEN': 0.001,
'BEEF': 0.005,
'MUTTON': 0.003,
'RICE': 0.100,
'WHEAT': 0.150,
'GEL': 0.000}
# A dictionary of the salt percent in each of the Ingredients is created
saltPercent = {'CHICKEN': 0.002,
'BEEF': 0.005,
'MUTTON': 0.007,
'RICE': 0.002,
'WHEAT': 0.008,
'GEL': 0.000}
prob = LpProblem("The Whiskas Problem", LpMinimize)
# Create the 'prob' variable to contain the problem data
prob = LpProblem("The Whiskas Problem", LpMinimize)
# A dictionary called 'ingredient_vars' is created to contain the referenced Variables
ingredient_vars = LpVariable.dicts("Ingr",Ingredients,0)
prob += lpSum([costs[i]*ingredient_vars[i] for i in Ingredients]), "Total Cost of Ingredients per can"
# The five constraints are added to 'prob'
prob += lpSum([ingredient_vars[i] for i in Ingredients]) == 100, "PercentagesSum"
prob += lpSum([proteinPercent[i] * ingredient_vars[i] for i in Ingredients]) >= 8.0, "ProteinRequirement"
prob += lpSum([fatPercent[i] * ingredient_vars[i] for i in Ingredients]) >= 6.0, "FatRequirement"
prob += lpSum([fibrePercent[i] * ingredient_vars[i] for i in Ingredients]) <= 2.0, "FibreRequirement"
prob += lpSum([saltPercent[i] * ingredient_vars[i] for i in Ingredients]) <= 0.4, "SaltRequirement"
# 此后代码和前面相同，这里略写