文章目录

1 常数项级数的概念和性质
- 1.1 定义
- - 1.1.1 无穷级数
  - 1.1.2 部分和
  - 1.1.3 收敛
- 1.2 性质
- 1.3 常见级数
- - 1.3.1 几何级数
  - 1.3.2 p级数
2 常数项级数的审敛法
- 2.1 正项级数
- - 2.1.1 定义
  - 2.1.2 收敛
- 2.2 正项级数的审敛法
- - 2.2.1 比较审敛法
  - - 2.2.1.1 描述
    - 2.2.1.2 极限形式
    - 2.2.1.3 记忆法
  - 2.2.2 比值审敛法
  - 2.2.3 根式审敛法
  - 2.2.4 极限审敛法
- 2.3 交错级数
- - 2.3.1 定义
- 2.4 交错级数的审敛法
- - 2.4.1 莱布尼兹审敛法
- 2.5 绝对收敛与条件收敛
3 函数项级数的基本概念
- 3.1 定义
- 3.2 收敛点与发散点
- 3.3 收敛域
- 3.4 和函数
4 幂级数
- 4.1 定义
- 4.2 幂级数收敛定理——阿贝尔定理
- - 4.2.1 描述
  - 4.2.2 注
- 4.3 收敛半径与收敛域的计算
- - 4.3.1 收敛半径R的求法
  - 4.3.2 求幂级数收敛域的基本步骤
- 4.4 幂级数的性质
- - 4.4.1 加减法
  - 4.4.2 乘法
  - 4.4.3 逐项求导
  - 4.4.4 逐项求积
5 函数展开成幂级数
- 5.1 泰勒级数
- 5.2 麦克劳林级数
- 5.3 泰勒收敛定理
- 5.4 函数幂级数的唯一性
- 5.5 计算法
- - 5.5.1 直接法
  - 5.5.2 间接法
6 三角函数系的正交性
7 傅里叶级数
- 7.1 描述
- 7.2 傅里叶级数的收敛定理（狄利克雷充分条件）
- 7.3 周期延拓
- 7.4 正弦级数和余弦级数
- 7.5 奇延拓与偶延拓
- - 7.5.1 奇延拓
  - 7.5.2 偶延拓
- 7.6 一般周期函数的傅里叶级数

1 常数项级数的概念和性质

1.1 定义

1.1.1 无穷级数

设给定一个数列： u 1 , u 2 , u 3 … u n , … u_1, u_2, u_3 \dots u _ n, \dots u1,u2,u3…un,…

式子

u 1 + u 2 + u 3 + ⋯ + u n + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ u n u _ 1 + u _ 2 + u _ 3 + \dots + u _ n + \dots = \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u _ n u1+u2+u3+⋯+un+⋯=n=1∑∞un

称为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，其中 u n u _ n un成为一般项或通项。

1.1.2 部分和

前 n n n 项的和为： S n = u 1 + u 2 + ⋯ + u n S_n = u _ 1 + u _ 2 + \dots + u_n Sn=u1+u2+⋯+un，称$S_1, S_2, \dots S_n \dots $为部分和数列。

1.1.3 收敛

若 lim ⁡ n → ∞ S n = S \lim _ {n \to \infty} S _ n = S limn→∞Sn=S，称数列收敛， S S S为级数的和，即：

∑ n = 1 ∞ u n = S \sum _ {n = 1} ^ \infty u _ n = S n=1∑∞un=S

若 lim ⁡ n → ∞ S n \lim _ {n \to \infty} S _ n limn→∞Sn 不存在，称级数发散

1.2 性质

线性性质

若级数 ∑ u n , ∑ v n \sum u _ n, \sum v _ n ∑un,∑vn 都收敛，则

∑ ( a u n ± b v n ) \sum(a u_n \pm b v_n) ∑(aun±bvn)也收敛，且 ∑ ( a u n ± b v n ) = a ∑ u n ± b ∑ v n \sum(a u_n \pm b v_n) = a \sum u_n \pm b \sum v_n ∑(aun±bvn)=a∑un±b∑vn

a , b a, b a,b为常数

级数中去掉、加上或改变有限项，敛散性不变
级数加括号增强收敛性
若级数收敛，则

lim ⁡ n → ∞ u n = 0 \lim _ {n \to \infty} u_n = 0 n→∞limun=0

1.3 常见级数

1.3.1 几何级数

无穷级数

∑ n = 0 ∞ a q n = a + a q + a q 2 + ⋯ + a q n + … \sum _ {n = 0} ^ {\infty} a q ^ {n} = a + aq + aq ^ 2 + \dots + aq ^ n + \dots n=0∑∞aqn=a+aq+aq2+⋯+aqn+…

叫做等比级数（几何级数）

当 ∣ q ∣ < 1 |q| < 1 ∣q∣<1时收敛，当 ∣ q ∣ ≥ 1 |q| \ge 1 ∣q∣≥1时发散。

1.3.2 p级数

无穷级数

∑ n = 0 ∞ 1 n p = 1 + 1 n + 1 n 2 + ⋯ + 1 n p + … \sum _ {n = 0} ^ {\infty} \frac{1}{n ^ p} = 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n ^ 2} + \dots + \frac{1}{n ^ p} + \dots n=0∑∞np1=1+n1+n21+⋯+np1+…

叫做p级数

当 ∣ p ∣ > 1 |p| > 1 ∣p∣>1时收敛，当 ∣ p ∣ ≤ 1 |p| \le 1 ∣p∣≤1时发散。

2 常数项级数的审敛法

2.1 正项级数

2.1.1 定义

如果级数的每一项都大于等于零，称级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u _ n ∑n=1∞un 为正项级数

2.1.2 收敛

正数项级数收敛的充要条件是它的部分和数列{S _ n} 有界

2.2 正项级数的审敛法

2.2.1 比较审敛法

2.2.1.1 描述

设 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n ∑n=1∞un 和 ∑ n = 1 ∞ v n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n ∑n=1∞vn 都是正项级数，且 u n ≤ v n ( n = 1 , 2 , 3 …   ) u_n \le v_n(n = 1, 2, 3 \dots) un≤vn(n=1,2,3…)。若级数 ∑ n = 1 ∞ v n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n ∑n=1∞vn收敛，则 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n ∑n=1∞un收敛，反之，若级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n ∑n=1∞un发散, 则级数 ∑ n = 1 ∞ v n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} v _ n ∑n=1∞vn发散。

2.2.1.2 极限形式

设 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n ∑n=1∞un 和 ∑ n = 1 ∞ v n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n ∑n=1∞vn 都是正项级数，且

lim ⁡ n → ∞ u n v n = l \lim _ {n \to \infty} \frac {u _ n}{v _ n} = l n→∞limvnun=l

若 0 < l < + ∞ 0 < l < + \infty 0<l<+∞，则 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n ∑n=1∞un 与 ∑ n = 1 ∞ v n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n ∑n=1∞vn，同敛散。
若 l = 0 l = 0 l=0，则当 ∑ n = 1 ∞ v n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n ∑n=1∞vn收敛，有 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n ∑n=1∞un也收敛。
若 l = + ∞ l = + \infty l=+∞，则当 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n ∑n=1∞un发散，有 ∑ n = 1 ∞ v n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n ∑n=1∞vn也发散。

2.2.1.3 记忆法

大的收敛，小的必收敛；小的发散，大的必发散。

2.2.2 比值审敛法

设 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ \infty u_n ∑n=1∞un是正项级数，如果

lim ⁡ n → ∞ u n + 1 u n = ρ \lim _ {n \to \infty} \frac{u _ {n + 1}}{u _ n} = \rho n→∞limunun+1=ρ

则当

ρ < 1 \rho < 1 ρ<1时级数收敛
ρ = 1 \rho = 1 ρ=1时级数不定
ρ > 1 \rho > 1 ρ>1时级数发散

2.2.3 根式审敛法

设 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ \infty u_n ∑n=1∞un是正项级数，如果

lim ⁡ n → ∞ u n n = ρ \lim _ {n \to \infty} \sqrt [n] {u _ n} = \rho n→∞limnun

=ρ

则当

ρ < 1 \rho < 1 ρ<1时级数收敛
ρ = 1 \rho = 1 ρ=1时级数不定
ρ > 1 \rho > 1 ρ>1时级数发散

2.2.4 极限审敛法

利用与 p p p级数的比较审敛法可以获得

若 lim ⁡ n → ∞ n u n = l \lim _ {n \to \infty} n u _n = l limn→∞nun=l, 当 l > 0 l > 0 l>0 或 l = + ∞ l = + \infty l=+∞ 时，则级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n ∑n=1∞un 发散。
若 lim ⁡ n → ∞ n p u n = l \lim _ {n \to \infty} n ^ p u _n = l limn→∞npun=l, 当 0 ≤ l < + ∞ 0 \le l < + \infty 0≤l<+∞ 时，则级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n ∑n=1∞un 收敛。

2.3 交错级数

2.3.1 定义

∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 u n \sum _ {n = 1} ^ \infty (-1) ^ {n - 1} u_n ∑n=1∞(−1)n−1un或 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n u n \sum _ {n = 1} ^ \infty (-1) ^ {n} u_n ∑n=1∞(−1)nun（正负交替出现的级数）

2.4 交错级数的审敛法

2.4.1 莱布尼兹审敛法

如果交错级数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 u n \sum _ {n = 1} ^ \infty (-1) ^ {n - 1} u_n ∑n=1∞(−1)n−1un满足条件：

u n ≥ u n + 1 ( n = 1 , 2 , 3 , …   ) u _ n \ge u _ {n + 1} (n = 1, 2, 3, \dots) un≥un+1(n=1,2,3,…)

lim ⁡ n → ∞ u n = 0 \lim _ {n \to \infty} u _ n = 0 n→∞limun=0

则级数收敛，且其和 s ≤ u 1 s \le u _ 1 s≤u1，其余项 r n r_n rn的绝对值 ∣ r n ∣ ≤ u n + 1 |r_n| \le u _ {n + 1} ∣rn∣≤un+1

2.5 绝对收敛与条件收敛

设 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ \infty u_n ∑n=1∞un为任意项级数

若 ∣ ∑ n = 1 ∞ u n ∣ |\sum _ {n = 1} ^ \infty u_n| ∣∑n=1∞un∣，收敛，则称其为绝对收敛

若 ∣ ∑ n = 1 ∞ u n ∣ |\sum _ {n = 1} ^ \infty u_n| ∣∑n=1∞un∣发散，但 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ \infty u_n ∑n=1∞un收敛，则称其为条件收敛。

绝对收敛必收敛。

3 函数项级数的基本概念

3.1 定义

称形如 ∑ n = 0 ∞ u n ( x ) = u 1 ( x ) + u 2 ( x ) + ⋯ + u n ( x ) + … \sum _ {n = 0} ^ {\infty} u _ n (x) = u _ 1 (x) + u _ 2 (x) + \dots + u _ n (x) + \dots ∑n=0∞un(x)=u1(x)+u2(x)+⋯+un(x)+… 的级数为函数项级数。

3.2 收敛点与发散点

∀ x 0 ∈ I , ∑ n = 1 ∞ u n ( x 0 ) \forall x _ 0 \in I , \sum _ {n = 1} ^ \infty u _ n (x _ 0) ∀x0∈I,∑n=1∞un(x0)收敛，称 x 0 x_0 x0为函数项级数的收敛点

∀ x 0 ∈ I , ∑ n = 1 ∞ u n ( x 0 ) \forall x _ 0 \in I , \sum _ {n = 1} ^ \infty u _ n (x _ 0) ∀x0∈I,∑n=1∞un(x0)发散，称 x 0 x_0 x0为函数项级数的发散点

3.3 收敛域

收敛点的全体

3.4 和函数

若 ∑ n = 1 ∞ u n ( x 0 ) \sum _ {n = 1} ^ \infty u _ n(x _ 0) ∑n=1∞un(x0) 收敛，则 ∑ n = 1 ∞ u n = s ( x ) \sum _ {n = 1} ^ \infty u _ n = s(x) ∑n=1∞un=s(x)，称 s ( x ) s(x) s(x) 为和函数。

4 幂级数

4.1 定义

形如

∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n = a 0 + a 1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) 2 + ⋯ + a n ( x − x 0 ) n + … \sum _ {n = 0} ^ {\infty} a_n (x - x_0) ^ n = a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0) ^ 2 + \dots + a_n (x - x_0) ^ n + \dots n=0∑∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯+an(x−x0)n+…

的无穷级数。

4.2 幂级数收敛定理——阿贝尔定理

4.2.1 描述

如果幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum _ {n = 0} ^ {\infty} a_n x ^ n ∑n=0∞anxn当 x = x 0 ( x ≠ 0 ) x = x _ 0(x \ne 0) x=x0(x̸=0)时收敛，则对满足不等式 ∣ x ∣ < ∣ x 0 ∣ |x| < |x_0| ∣x∣<∣x0∣的一切 x x x，幂级数都收敛，并且是绝对收敛。

如果幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum _ {n = 0} ^ {\infty} a_n x ^ n ∑n=0∞anxn当 x = x 0 ( x ≠ 0 ) x = x _ 0(x \ne 0) x=x0(x̸=0)时发散，则对满足不等式 ∣ x ∣ > ∣ x 0 ∣ |x| > |x_0| ∣x∣>∣x0∣的一切 x x x，幂级数都发散。

4.2.2 注

幂级数的收敛域在发散域的内部
幂级数的收敛域为区间
存在正数 R R R，使 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum _ {n = 0} ^ {\infty} a_n x ^ n ∑n=0∞anxn在 ( − R , R ) (-R, R) (−R,R) 内收敛，且绝对收敛。
收敛半径：R
收敛区间： ( − R , R ) (-R, R) (−R,R)
收敛域：收敛区间 ∪ \cup ∪收敛端点

4.3 收敛半径与收敛域的计算

4.3.1 收敛半径R的求法

若 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n ∑n=0∞anxn 的系数 a n a_n an满足 lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ = ρ \lim _ {n \to \infty} |\frac{a _ {n + 1}}{a_n}| = \rho limn→∞∣anan+1∣=ρ，或 lim ⁡ n → ∞ ∣ a n ∣ n = ρ \lim _ {n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rho limn→∞n∣an∣

=ρ，（ ρ \rho ρ为正常数或 + ∞ + \infty +∞），那么他的收敛半径为：

当 0 < ρ < + ∞ 0 < \rho < + \infty 0<ρ<+∞，有 R = 1 ρ R = \frac{1}{\rho} R=ρ1
当 ρ = 0 \rho = 0 ρ=0，有 R = + ∞ R = +\infty R=+∞
当 ρ = + ∞ \rho = + \infty ρ=+∞，有 R = 0 R = 0 R=0

4.3.2 求幂级数收敛域的基本步骤

求出收敛半径 R R R

判别常数项级数 ∑ n = 0 ∞ a n R n , ∑ n = 0 ∞ a n ( − R ) n \sum _ {n = 0} ^ \infty a_n R ^ n, \sum _ {n = 0} ^ \infty a_n (-R) ^ n ∑n=0∞anRn,∑n=0∞an(−R)n的收敛性。

4.4 幂级数的性质

设 ∑ n = 0 ∞ a n x n , ∑ n = 0 ∞ b n x n \sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n, \sum _ {n = 0} ^ \infty b_n x ^ n ∑n=0∞anxn,∑n=0∞bnxn的收敛半径分别为 R 1 , R 2 R_1, R_2 R1,R2，其和函数分别为 s 1 ( x ) , s 2 ( x ) s_1(x), s_2(x) s1(x),s2(x)，又设 R = m i n ( R 1 , R 2 ) R = min(R_1, R_2) R=min(R1,R2)，则有以下运算性质：

4.4.1 加减法

∑ n = 0 ∞ a n x n ± ∑ n = 0 ∞ b n x n = ∑ n = 0 ∞ ( a n ± b n ) x n = s 1 ( x ) ± s 2 ( x ) \sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n \pm \sum _ {n = 0} ^ \infty b_n x ^ n = \sum _ {n = 0} ^ \infty (a_n \pm b_n) x ^ n = s_1(x) \pm s_2(x) n=0∑∞anxn±n=0∑∞bnxn=n=0∑∞(an±bn)xn=s1(x)±s2(x)

其收敛半径为 R R R

4.4.2 乘法

( ∑ n = 0 ∞ a n x n ) ⋅ ( ∑ n = 0 ∞ b n x n ) = s 1 ( x ) ⋅ s 2 ( x ) (\sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n )\cdot( \sum _ {n = 0} ^ \infty b_n x ^ n) = s_1(x) \cdot s_2(x) (n=0∑∞anxn)⋅(n=0∑∞bnxn)=s1(x)⋅s2(x)

其收敛半径为 R R R

4.4.3 逐项求导

s ′ ( x ) = ( ∑ n = 0 ∞ a n x n ) ′ = ∑ n = 1 ∞ n a n x n − 1 s'(x) = (\sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n )' = \sum _ {n = 1} ^ \infty n a_n x ^ {n - 1} s′(x)=(n=0∑∞anxn)′=n=1∑∞nanxn−1

且收敛半径不变，但端点的敛散性可能会变。

4.4.4 逐项求积

∫ 0 x s ( x ) d x = ∫ 0 x ( ∑ n = 0 ∞ a n x n ) d x = ∑ n = 0 ∞ a n n + 1 x n + 1 \int _ 0 ^ x s(x) dx = \int _ 0 ^ x(\sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n ) dx = \sum _ {n = 0} ^ \infty \frac {a_n}{n + 1} x ^ {n + 1} ∫0xs(x)dx=∫0x(n=0∑∞anxn)dx=n=0∑∞n+1anxn+1

且收敛半径不变，但端点的敛散性可能会变。

5 函数展开成幂级数

5.1 泰勒级数

f ( x ) = f ( x 0 ) + f ( 1 ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ( 2 ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) 2 2 ! + ⋯ + f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n n ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n n ! f(x) = f(x _ 0) + f ^ {(1)} (x _ 0) (x - x _ 0) + \frac{f ^ {(2)} (x _ 0)(x - x _0) ^ 2}{2!} + \cdots + \frac{f ^ {(n)} (x _ 0) (x - x _ 0) ^ n}{n !} + \cdots = \sum _ {n = 0} ^ {\infty} \frac{f ^ {(n)} (x _ 0) (x - x _ 0) ^ n}{n !} f(x)=f(x0)+f(1)(x0)(x−x0)+2!f(2)(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+⋯=n=0∑∞n!f(n)(x0)(x−x0)n

5.2 麦克劳林级数

当泰勒级数取 x 0 = 0 x _ 0 = 0 x0=0时，称级数为麦克劳林级数：

f ( x ) = f ( 0 ) + f ( 1 ) ( 0 ) x + f ( 2 ) ( 0 ) x 2 2 ! + ⋯ + f ( n ) ( 0 ) x n n ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) x n n ! f(x) = f(0) + f ^ {(1)} (0) x + \frac{f ^ {(2)} (0)x ^ 2}{2!} + \cdots + \frac{f ^ {(n)} (0) x ^ n}{n !} + \cdots = \sum _ {n = 0} ^ {\infty} \frac{f ^ {(n)} (0) x ^ n}{n !} f(x)=f(0)+f(1)(0)x+2!f(2)(0)x2+⋯+n!f(n)(0)xn+⋯=n=0∑∞n!f(n)(0)xn

5.3 泰勒收敛定理

设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的某一邻域内具有各阶导数，则 f ( x ) f(x) f(x) 在该邻域内可展开为泰勒级数的充要条件是

lim ⁡ n → ∞ R n ( x ) = 0 \lim _ {n \to \infty} R _ n (x) = 0 n→∞limRn(x)=0

5.4 函数幂级数的唯一性

如果函数可展开为幂级数，则展开式是唯一的。

5.5 计算法

5.5.1 直接法

利用泰勒展开式成立的条件检验其是否存在

利用泰勒展开式直接写出函数的幂级数展开式

5.5.2 间接法

利用已知的幂级数展开式，通过幂级数的运算法计算

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n , ( − ∞ < x < + ∞ ) e ^ x = \sum _ {n = 0} ^ \infty \frac{1}{n!} x ^ n,(- \infty < x < + \infty) ex=n=0∑∞n!1xn,(−∞<x<+∞)

sin ⁡ x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! x 2 k + 1 , ( − ∞ < x < + ∞ ) \sin x = \sum _ {k = 0} ^ \infty \frac{(-1) ^ k}{(2k + 1) !} x ^ {2k + 1} ,(- \infty < x < + \infty) sinx=k=0∑∞(2k+1)!(−1)kx2k+1,(−∞<x<+∞)

1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n , ( − 1 < x < + 1 ) \frac{1}{1+x} = \sum _ {n = 0} ^ \infty (-1) ^ n x ^ {n}, (- 1 < x < + 1) 1+x1=n=0∑∞(−1)nxn,(−1<x<+1)

ln ⁡ ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n x n , ( − 1 < x ≤ + 1 ) \ln (1 + x) = \sum _ {n = 1} ^ \infty \frac{(-1) ^ {n - 1}}{n} x ^ n , (- 1 < x \le + 1) ln(1+x)=n=1∑∞n(−1)n−1xn,(−1<x≤+1)

cos ⁡ x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k ) ! x 2 k , ( − ∞ < x < + ∞ ) \cos x = \sum _ {k = 0} ^ \infty \frac{(-1) ^ k}{(2k) !} x ^ {2k} ,(- \infty < x < + \infty) cosx=k=0∑∞(2k)!(−1)kx2k,(−∞<x<+∞)

6 三角函数系的正交性

三角函数系

1 , cos ⁡ x , sin ⁡ x , cos ⁡ 2 x , sin ⁡ 2 x ⋯ cos ⁡ n x , sin ⁡ n x , ⋯ 1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x \cdots \cos nx, \sin nx ,\cdots 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x⋯cosnx,sinnx,⋯

在区间 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [−π,π]上正交，就是指在三角函数系中任意两个不同的两个函数的乘积在 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [−π,π] 上的积分等于零，即满足

∫ − π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x = { 0 , m ≠ n π , m = n \int _ {-\pi} ^ {\pi} \sin mx \sin nx dx = \left \{ \begin{aligned} 0, m \ne n \\ \pi, m = n \end{aligned} \right. ∫−ππsinmxsinnxdx={0,m̸=nπ,m=n

∫ − π π cos ⁡ m x cos ⁡ n x d x = { 0 , m ≠ n π , m = n \int _ {-\pi} ^ {\pi} \cos mx \cos nx dx = \left \{ \begin{aligned} 0, m \ne n \\ \pi, m = n \end{aligned} \right. ∫−ππcosmxcosnxdx={0,m̸=nπ,m=n

∫ − π π sin ⁡ m x cos ⁡ n x d x = 0 , ∫ − π π cos ⁡ n x d x = ∫ − π π sin ⁡ n x d x = 0 \int _ {-\pi} ^ {\pi} \sin mx \cos nx dx = 0, \int _ {-\pi} ^ {\pi} \cos nx dx = \int _ {-\pi} ^ {\pi} \sin nx dx = 0 ∫−ππsinmxcosnxdx=0,∫−ππcosnxdx=∫−ππsinnxdx=0

其中 m , n m, n m,n都是正整数。

7 傅里叶级数

7.1 描述

f ( x ) ∼ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ) f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum _ {n = 1} ^ \infty(a _ n \cos nx + b_n \sin nx ) f(x)∼2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)

其中

a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x a_n = \frac{1}{\pi} \int _ {-\pi} ^ \pi f(x) \cos nx dx an=π1∫−ππf(x)cosnxdx

b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ n x d x b_n = \frac{1}{\pi} \int _ {-\pi} ^ \pi f(x) \sin nx dx bn=π1∫−ππf(x)sinnxdx

7.2 傅里叶级数的收敛定理（狄利克雷充分条件）

设 f ( x ) f(x) f(x) 是周期为 2 π 2\pi 2π 的周期函数，如果它满足

在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点
在一个周期内至多只有有限个极值点

则 f ( x ) f(x) f(x) 的傅里叶级数收敛，并且

当 x x x 是 f ( x ) f(x) f(x) 的连续点时，级数收敛于 f ( x ) f(x) f(x)

当 x x x 是 f ( x ) f(x) f(x) 的间断点时，级数收敛于 1 2 [ f ( x − ) + f ( x + ) ] \frac{1}{2}[f(x ^ -) + f(x ^ +)] 21[f(x−)+f(x+)]

7.3 周期延拓

将只在区间 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [−π,π]上有定义且满足收敛定理的条件，我们可以将其在定义域外补充它的定义，使它拓广成一个周期为 2 π 2\pi 2π的周期函数 φ ( x ) \varphi (x) φ(x)，然后就可以将 φ ( x ) \varphi (x) φ(x)展开为傅里叶级数，最后将其限制在 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [−π,π]内，此时 φ ( x ) ≡ f ( x ) \varphi (x) \equiv f(x) φ(x)≡f(x)

7.4 正弦级数和余弦级数

奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数

偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数

7.5 奇延拓与偶延拓

设函数 f ( x ) f(x) f(x)定义在 [ 0 , π ] [0, \pi] [0,π]上且满足收敛定理的条件

7.5.1 奇延拓

令

F ( x ) = { f ( x ) , 0 < x ≤ π 0 , x = 0 − f ( − x ) , − π < x < 0 F(x) = \left \{ \begin{aligned} & f(x), & 0 < x \le \pi\\ & 0, & x = 0 \\ & - f(-x), & -\pi < x < 0 \end{aligned} \right. F(x)=⎩⎪⎨⎪⎧f(x),0,−f(−x),0<x≤πx=0−π<x<0

可以获得 f ( x ) f(x) f(x)的正弦级数展开式

7.5.2 偶延拓

令

F ( x ) = { f ( x ) , 0 ≤ x ≤ π f ( − x ) , − π < x < 0 F(x) = \left \{ \begin{aligned} & f(x), & 0 \le x \le \pi\\ & f(-x), & -\pi < x < 0 \end{aligned} \right. F(x)={f(x),f(−x),0≤x≤π−π<x<0

可以获得 f ( x ) f(x) f(x)的余弦级数展开式

7.6 一般周期函数的傅里叶级数

设周期为 2 l 2l 2l的周期函数 f ( x ) f(x) f(x)满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为

f ( x ) ∼ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n π x l + b n sin ⁡ n π x l ) ( x ∈ C ) f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum _ {n = 1} ^ \infty(a _ n \cos \frac{n\pi x}{l} + b_n \sin \frac{n\pi x}{l} ) (x \in C) f(x)∼2a0+n=1∑∞(ancoslnπx+bnsinlnπx)(x∈C)

其中

a n = 1 l ∫ − l l f ( x ) cos ⁡ n π x l d x a_n = \frac{1}{l} \int _ {-l} ^ l f(x) \cos \frac{n\pi x}{l} dx an=l1∫−llf(x)coslnπxdx

b n = 1 l ∫ − l l f ( x ) sin ⁡ n π x l d x b_n = \frac{1}{l} \int _ {-l} ^ l f(x) \sin \frac{n\pi x}{l} dx bn=l1∫−llf(x)sinlnπxdx

C = { x ∣ f ( x ) = 1 2 [ f ( x − ) + f ( x + ) ] } C = \{ x | f(x) = \frac{1}{2}[f(x ^ -) + f(x ^ +)] \} C={x∣f(x)=21[f(x−)+f(x+)]}

高等数学（下）无穷级数1 常数项级数的概念和性质2 常数项级数的审敛法3 函数项级数的基本概念4 幂级数5 函数展开成幂级数6 三角函数系的正交性7 傅里叶级数