文章目錄

1 常數項級數的概念和性質
- 1.1 定義
- - 1.1.1 無窮級數
  - 1.1.2 部分和
  - 1.1.3 收斂
- 1.2 性質
- 1.3 常見級數
- - 1.3.1 幾何級數
  - 1.3.2 p級數
2 常數項級數的審斂法
- 2.1 正項級數
- - 2.1.1 定義
  - 2.1.2 收斂
- 2.2 正項級數的審斂法
- - 2.2.1 比較審斂法
  - - 2.2.1.1 描述
    - 2.2.1.2 極限形式
    - 2.2.1.3 記憶法
  - 2.2.2 比值審斂法
  - 2.2.3 根式審斂法
  - 2.2.4 極限審斂法
- 2.3 交錯級數
- - 2.3.1 定義
- 2.4 交錯級數的審斂法
- - 2.4.1 萊布尼茲審斂法
- 2.5 絕對收斂與條件收斂
3 函數項級數的基本概念
- 3.1 定義
- 3.2 收斂點與發散點
- 3.3 收斂域
- 3.4 和函數
4 幂級數
- 4.1 定義
- 4.2 幂級數收斂定理——阿貝爾定理
- - 4.2.1 描述
  - 4.2.2 注
- 4.3 收斂半徑與收斂域的計算
- - 4.3.1 收斂半徑R的求法
  - 4.3.2 求幂級數收斂域的基本步驟
- 4.4 幂級數的性質
- - 4.4.1 加減法
  - 4.4.2 乘法
  - 4.4.3 逐項求導
  - 4.4.4 逐項求積
5 函數展開成幂級數
- 5.1 泰勒級數
- 5.2 麥克勞林級數
- 5.3 泰勒收斂定理
- 5.4 函數幂級數的唯一性
- 5.5 計算法
- - 5.5.1 直接法
  - 5.5.2 間接法
6 三角函數系的正交性
7 傅裡葉級數
- 7.1 描述
- 7.2 傅裡葉級數的收斂定理（狄利克雷充分條件）
- 7.3 周期延拓
- 7.4 正弦級數和餘弦級數
- 7.5 奇延拓與偶延拓
- - 7.5.1 奇延拓
  - 7.5.2 偶延拓
- 7.6 一般周期函數的傅裡葉級數

1 常數項級數的概念和性質

1.1 定義

1.1.1 無窮級數

設給定一個數列： u 1 , u 2 , u 3 … u n , … u_1, u_2, u_3 \dots u _ n, \dots u1,u2,u3…un,…

式子

u 1 + u 2 + u 3 + ⋯ + u n + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ u n u _ 1 + u _ 2 + u _ 3 + \dots + u _ n + \dots = \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u _ n u1+u2+u3+⋯+un+⋯=n=1∑∞un

稱為（常數項）無窮級數，簡稱（常數項）級數，其中 u n u _ n un成為一般項或通項。

1.1.2 部分和

前 n n n 項的和為： S n = u 1 + u 2 + ⋯ + u n S_n = u _ 1 + u _ 2 + \dots + u_n Sn=u1+u2+⋯+un，稱$S_1, S_2, \dots S_n \dots $為部分和數列。

1.1.3 收斂

若 lim ⁡ n → ∞ S n = S \lim _ {n \to \infty} S _ n = S limn→∞Sn=S，稱數列收斂， S S S為級數的和，即：

∑ n = 1 ∞ u n = S \sum _ {n = 1} ^ \infty u _ n = S n=1∑∞un=S

若 lim ⁡ n → ∞ S n \lim _ {n \to \infty} S _ n limn→∞Sn 不存在，稱級數發散

1.2 性質

線性性質

若級數 ∑ u n , ∑ v n \sum u _ n, \sum v _ n ∑un,∑vn 都收斂，則

∑ ( a u n ± b v n ) \sum(a u_n \pm b v_n) ∑(aun±bvn)也收斂，且 ∑ ( a u n ± b v n ) = a ∑ u n ± b ∑ v n \sum(a u_n \pm b v_n) = a \sum u_n \pm b \sum v_n ∑(aun±bvn)=a∑un±b∑vn

a , b a, b a,b為常數

級數中去掉、加上或改變有限項，斂散性不變
級數加括号增強收斂性
若級數收斂，則

lim ⁡ n → ∞ u n = 0 \lim _ {n \to \infty} u_n = 0 n→∞limun=0

1.3 常見級數

1.3.1 幾何級數

無窮級數

∑ n = 0 ∞ a q n = a + a q + a q 2 + ⋯ + a q n + … \sum _ {n = 0} ^ {\infty} a q ^ {n} = a + aq + aq ^ 2 + \dots + aq ^ n + \dots n=0∑∞aqn=a+aq+aq2+⋯+aqn+…

叫做等比級數（幾何級數）

當 ∣ q ∣ < 1 |q| < 1 ∣q∣<1時收斂，當 ∣ q ∣ ≥ 1 |q| \ge 1 ∣q∣≥1時發散。

1.3.2 p級數

無窮級數

∑ n = 0 ∞ 1 n p = 1 + 1 n + 1 n 2 + ⋯ + 1 n p + … \sum _ {n = 0} ^ {\infty} \frac{1}{n ^ p} = 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n ^ 2} + \dots + \frac{1}{n ^ p} + \dots n=0∑∞np1=1+n1+n21+⋯+np1+…

叫做p級數

當 ∣ p ∣ > 1 |p| > 1 ∣p∣>1時收斂，當 ∣ p ∣ ≤ 1 |p| \le 1 ∣p∣≤1時發散。

2 常數項級數的審斂法

2.1 正項級數

2.1.1 定義

如果級數的每一項都大于等于零，稱級數 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u _ n ∑n=1∞un 為正項級數

2.1.2 收斂

正數項級數收斂的充要條件是它的部分和數列{S _ n} 有界

2.2 正項級數的審斂法

2.2.1 比較審斂法

2.2.1.1 描述

設 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n ∑n=1∞un 和 ∑ n = 1 ∞ v n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n ∑n=1∞vn 都是正項級數，且 u n ≤ v n ( n = 1 , 2 , 3 …   ) u_n \le v_n(n = 1, 2, 3 \dots) un≤vn(n=1,2,3…)。若級數 ∑ n = 1 ∞ v n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n ∑n=1∞vn收斂，則 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n ∑n=1∞un收斂，反之，若級數 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n ∑n=1∞un發散, 則級數 ∑ n = 1 ∞ v n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} v _ n ∑n=1∞vn發散。

2.2.1.2 極限形式

設 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n ∑n=1∞un 和 ∑ n = 1 ∞ v n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n ∑n=1∞vn 都是正項級數，且

lim ⁡ n → ∞ u n v n = l \lim _ {n \to \infty} \frac {u _ n}{v _ n} = l n→∞limvnun=l

若 0 < l < + ∞ 0 < l < + \infty 0<l<+∞，則 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n ∑n=1∞un 與 ∑ n = 1 ∞ v n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n ∑n=1∞vn，同斂散。
若 l = 0 l = 0 l=0，則當 ∑ n = 1 ∞ v n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n ∑n=1∞vn收斂，有 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n ∑n=1∞un也收斂。
若 l = + ∞ l = + \infty l=+∞，則當 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n ∑n=1∞un發散，有 ∑ n = 1 ∞ v n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n ∑n=1∞vn也發散。

2.2.1.3 記憶法

大的收斂，小的必收斂；小的發散，大的必發散。

2.2.2 比值審斂法

設 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ \infty u_n ∑n=1∞un是正項級數，如果

lim ⁡ n → ∞ u n + 1 u n = ρ \lim _ {n \to \infty} \frac{u _ {n + 1}}{u _ n} = \rho n→∞limunun+1=ρ

則當

ρ < 1 \rho < 1 ρ<1時級數收斂
ρ = 1 \rho = 1 ρ=1時級數不定
ρ > 1 \rho > 1 ρ>1時級數發散

2.2.3 根式審斂法

設 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ \infty u_n ∑n=1∞un是正項級數，如果

lim ⁡ n → ∞ u n n = ρ \lim _ {n \to \infty} \sqrt [n] {u _ n} = \rho n→∞limnun

=ρ

則當

ρ < 1 \rho < 1 ρ<1時級數收斂
ρ = 1 \rho = 1 ρ=1時級數不定
ρ > 1 \rho > 1 ρ>1時級數發散

2.2.4 極限審斂法

利用與 p p p級數的比較審斂法可以獲得

若 lim ⁡ n → ∞ n u n = l \lim _ {n \to \infty} n u _n = l limn→∞nun=l, 當 l > 0 l > 0 l>0 或 l = + ∞ l = + \infty l=+∞ 時，則級數 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n ∑n=1∞un 發散。
若 lim ⁡ n → ∞ n p u n = l \lim _ {n \to \infty} n ^ p u _n = l limn→∞npun=l, 當 0 ≤ l < + ∞ 0 \le l < + \infty 0≤l<+∞ 時，則級數 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n ∑n=1∞un 收斂。

2.3 交錯級數

2.3.1 定義

∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 u n \sum _ {n = 1} ^ \infty (-1) ^ {n - 1} u_n ∑n=1∞(−1)n−1un或 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n u n \sum _ {n = 1} ^ \infty (-1) ^ {n} u_n ∑n=1∞(−1)nun（正負交替出現的級數）

2.4 交錯級數的審斂法

2.4.1 萊布尼茲審斂法

如果交錯級數 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 u n \sum _ {n = 1} ^ \infty (-1) ^ {n - 1} u_n ∑n=1∞(−1)n−1un滿足條件：

u n ≥ u n + 1 ( n = 1 , 2 , 3 , …   ) u _ n \ge u _ {n + 1} (n = 1, 2, 3, \dots) un≥un+1(n=1,2,3,…)

lim ⁡ n → ∞ u n = 0 \lim _ {n \to \infty} u _ n = 0 n→∞limun=0

則級數收斂，且其和 s ≤ u 1 s \le u _ 1 s≤u1，其餘項 r n r_n rn的絕對值 ∣ r n ∣ ≤ u n + 1 |r_n| \le u _ {n + 1} ∣rn∣≤un+1

2.5 絕對收斂與條件收斂

設 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ \infty u_n ∑n=1∞un為任意項級數

若 ∣ ∑ n = 1 ∞ u n ∣ |\sum _ {n = 1} ^ \infty u_n| ∣∑n=1∞un∣，收斂，則稱其為絕對收斂

若 ∣ ∑ n = 1 ∞ u n ∣ |\sum _ {n = 1} ^ \infty u_n| ∣∑n=1∞un∣發散，但 ∑ n = 1 ∞ u n \sum _ {n = 1} ^ \infty u_n ∑n=1∞un收斂，則稱其為條件收斂。

絕對收斂必收斂。

3 函數項級數的基本概念

3.1 定義

稱形如 ∑ n = 0 ∞ u n ( x ) = u 1 ( x ) + u 2 ( x ) + ⋯ + u n ( x ) + … \sum _ {n = 0} ^ {\infty} u _ n (x) = u _ 1 (x) + u _ 2 (x) + \dots + u _ n (x) + \dots ∑n=0∞un(x)=u1(x)+u2(x)+⋯+un(x)+… 的級數為函數項級數。

3.2 收斂點與發散點

∀ x 0 ∈ I , ∑ n = 1 ∞ u n ( x 0 ) \forall x _ 0 \in I , \sum _ {n = 1} ^ \infty u _ n (x _ 0) ∀x0∈I,∑n=1∞un(x0)收斂，稱 x 0 x_0 x0為函數項級數的收斂點

∀ x 0 ∈ I , ∑ n = 1 ∞ u n ( x 0 ) \forall x _ 0 \in I , \sum _ {n = 1} ^ \infty u _ n (x _ 0) ∀x0∈I,∑n=1∞un(x0)發散，稱 x 0 x_0 x0為函數項級數的發散點

3.3 收斂域

收斂點的全體

3.4 和函數

若 ∑ n = 1 ∞ u n ( x 0 ) \sum _ {n = 1} ^ \infty u _ n(x _ 0) ∑n=1∞un(x0) 收斂，則 ∑ n = 1 ∞ u n = s ( x ) \sum _ {n = 1} ^ \infty u _ n = s(x) ∑n=1∞un=s(x)，稱 s ( x ) s(x) s(x) 為和函數。

4 幂級數

4.1 定義

形如

∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n = a 0 + a 1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) 2 + ⋯ + a n ( x − x 0 ) n + … \sum _ {n = 0} ^ {\infty} a_n (x - x_0) ^ n = a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0) ^ 2 + \dots + a_n (x - x_0) ^ n + \dots n=0∑∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯+an(x−x0)n+…

的無窮級數。

4.2 幂級數收斂定理——阿貝爾定理

4.2.1 描述

如果幂級數 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum _ {n = 0} ^ {\infty} a_n x ^ n ∑n=0∞anxn當 x = x 0 ( x ≠ 0 ) x = x _ 0(x \ne 0) x=x0(x̸=0)時收斂，則對滿足不等式 ∣ x ∣ < ∣ x 0 ∣ |x| < |x_0| ∣x∣<∣x0∣的一切 x x x，幂級數都收斂，并且是絕對收斂。

如果幂級數 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum _ {n = 0} ^ {\infty} a_n x ^ n ∑n=0∞anxn當 x = x 0 ( x ≠ 0 ) x = x _ 0(x \ne 0) x=x0(x̸=0)時發散，則對滿足不等式 ∣ x ∣ > ∣ x 0 ∣ |x| > |x_0| ∣x∣>∣x0∣的一切 x x x，幂級數都發散。

4.2.2 注

幂級數的收斂域在發散域的内部
幂級數的收斂域為區間
存在正數 R R R，使 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum _ {n = 0} ^ {\infty} a_n x ^ n ∑n=0∞anxn在 ( − R , R ) (-R, R) (−R,R) 内收斂，且絕對收斂。
收斂半徑：R
收斂區間： ( − R , R ) (-R, R) (−R,R)
收斂域：收斂區間 ∪ \cup ∪收斂端點

4.3 收斂半徑與收斂域的計算

4.3.1 收斂半徑R的求法

若 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n ∑n=0∞anxn 的系數 a n a_n an滿足 lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ = ρ \lim _ {n \to \infty} |\frac{a _ {n + 1}}{a_n}| = \rho limn→∞∣anan+1∣=ρ，或 lim ⁡ n → ∞ ∣ a n ∣ n = ρ \lim _ {n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rho limn→∞n∣an∣

=ρ，（ ρ \rho ρ為正常數或 + ∞ + \infty +∞），那麼他的收斂半徑為：

當 0 < ρ < + ∞ 0 < \rho < + \infty 0<ρ<+∞，有 R = 1 ρ R = \frac{1}{\rho} R=ρ1
當 ρ = 0 \rho = 0 ρ=0，有 R = + ∞ R = +\infty R=+∞
當 ρ = + ∞ \rho = + \infty ρ=+∞，有 R = 0 R = 0 R=0

4.3.2 求幂級數收斂域的基本步驟

求出收斂半徑 R R R

判别常數項級數 ∑ n = 0 ∞ a n R n , ∑ n = 0 ∞ a n ( − R ) n \sum _ {n = 0} ^ \infty a_n R ^ n, \sum _ {n = 0} ^ \infty a_n (-R) ^ n ∑n=0∞anRn,∑n=0∞an(−R)n的收斂性。

4.4 幂級數的性質

設 ∑ n = 0 ∞ a n x n , ∑ n = 0 ∞ b n x n \sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n, \sum _ {n = 0} ^ \infty b_n x ^ n ∑n=0∞anxn,∑n=0∞bnxn的收斂半徑分别為 R 1 , R 2 R_1, R_2 R1,R2，其和函數分别為 s 1 ( x ) , s 2 ( x ) s_1(x), s_2(x) s1(x),s2(x)，又設 R = m i n ( R 1 , R 2 ) R = min(R_1, R_2) R=min(R1,R2)，則有以下運算性質：

4.4.1 加減法

∑ n = 0 ∞ a n x n ± ∑ n = 0 ∞ b n x n = ∑ n = 0 ∞ ( a n ± b n ) x n = s 1 ( x ) ± s 2 ( x ) \sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n \pm \sum _ {n = 0} ^ \infty b_n x ^ n = \sum _ {n = 0} ^ \infty (a_n \pm b_n) x ^ n = s_1(x) \pm s_2(x) n=0∑∞anxn±n=0∑∞bnxn=n=0∑∞(an±bn)xn=s1(x)±s2(x)

其收斂半徑為 R R R

4.4.2 乘法

( ∑ n = 0 ∞ a n x n ) ⋅ ( ∑ n = 0 ∞ b n x n ) = s 1 ( x ) ⋅ s 2 ( x ) (\sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n )\cdot( \sum _ {n = 0} ^ \infty b_n x ^ n) = s_1(x) \cdot s_2(x) (n=0∑∞anxn)⋅(n=0∑∞bnxn)=s1(x)⋅s2(x)

其收斂半徑為 R R R

4.4.3 逐項求導

s ′ ( x ) = ( ∑ n = 0 ∞ a n x n ) ′ = ∑ n = 1 ∞ n a n x n − 1 s'(x) = (\sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n )' = \sum _ {n = 1} ^ \infty n a_n x ^ {n - 1} s′(x)=(n=0∑∞anxn)′=n=1∑∞nanxn−1

且收斂半徑不變，但端點的斂散性可能會變。

4.4.4 逐項求積

∫ 0 x s ( x ) d x = ∫ 0 x ( ∑ n = 0 ∞ a n x n ) d x = ∑ n = 0 ∞ a n n + 1 x n + 1 \int _ 0 ^ x s(x) dx = \int _ 0 ^ x(\sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n ) dx = \sum _ {n = 0} ^ \infty \frac {a_n}{n + 1} x ^ {n + 1} ∫0xs(x)dx=∫0x(n=0∑∞anxn)dx=n=0∑∞n+1anxn+1

且收斂半徑不變，但端點的斂散性可能會變。

5 函數展開成幂級數

5.1 泰勒級數

f ( x ) = f ( x 0 ) + f ( 1 ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ( 2 ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) 2 2 ! + ⋯ + f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n n ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n n ! f(x) = f(x _ 0) + f ^ {(1)} (x _ 0) (x - x _ 0) + \frac{f ^ {(2)} (x _ 0)(x - x _0) ^ 2}{2!} + \cdots + \frac{f ^ {(n)} (x _ 0) (x - x _ 0) ^ n}{n !} + \cdots = \sum _ {n = 0} ^ {\infty} \frac{f ^ {(n)} (x _ 0) (x - x _ 0) ^ n}{n !} f(x)=f(x0)+f(1)(x0)(x−x0)+2!f(2)(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+⋯=n=0∑∞n!f(n)(x0)(x−x0)n

5.2 麥克勞林級數

當泰勒級數取 x 0 = 0 x _ 0 = 0 x0=0時，稱級數為麥克勞林級數：

f ( x ) = f ( 0 ) + f ( 1 ) ( 0 ) x + f ( 2 ) ( 0 ) x 2 2 ! + ⋯ + f ( n ) ( 0 ) x n n ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) x n n ! f(x) = f(0) + f ^ {(1)} (0) x + \frac{f ^ {(2)} (0)x ^ 2}{2!} + \cdots + \frac{f ^ {(n)} (0) x ^ n}{n !} + \cdots = \sum _ {n = 0} ^ {\infty} \frac{f ^ {(n)} (0) x ^ n}{n !} f(x)=f(0)+f(1)(0)x+2!f(2)(0)x2+⋯+n!f(n)(0)xn+⋯=n=0∑∞n!f(n)(0)xn

5.3 泰勒收斂定理

設函數 f ( x ) f(x) f(x) 在點 x 0 x_0 x0 的某一鄰域内具有各階導數，則 f ( x ) f(x) f(x) 在該鄰域内可展開為泰勒級數的充要條件是

lim ⁡ n → ∞ R n ( x ) = 0 \lim _ {n \to \infty} R _ n (x) = 0 n→∞limRn(x)=0

5.4 函數幂級數的唯一性

如果函數可展開為幂級數，則展開式是唯一的。

5.5 計算法

5.5.1 直接法

利用泰勒展開式成立的條件檢驗其是否存在

利用泰勒展開式直接寫出函數的幂級數展開式

5.5.2 間接法

利用已知的幂級數展開式，通過幂級數的運算法計算

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n , ( − ∞ < x < + ∞ ) e ^ x = \sum _ {n = 0} ^ \infty \frac{1}{n!} x ^ n,(- \infty < x < + \infty) ex=n=0∑∞n!1xn,(−∞<x<+∞)

sin ⁡ x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! x 2 k + 1 , ( − ∞ < x < + ∞ ) \sin x = \sum _ {k = 0} ^ \infty \frac{(-1) ^ k}{(2k + 1) !} x ^ {2k + 1} ,(- \infty < x < + \infty) sinx=k=0∑∞(2k+1)!(−1)kx2k+1,(−∞<x<+∞)

1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n , ( − 1 < x < + 1 ) \frac{1}{1+x} = \sum _ {n = 0} ^ \infty (-1) ^ n x ^ {n}, (- 1 < x < + 1) 1+x1=n=0∑∞(−1)nxn,(−1<x<+1)

ln ⁡ ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n x n , ( − 1 < x ≤ + 1 ) \ln (1 + x) = \sum _ {n = 1} ^ \infty \frac{(-1) ^ {n - 1}}{n} x ^ n , (- 1 < x \le + 1) ln(1+x)=n=1∑∞n(−1)n−1xn,(−1<x≤+1)

cos ⁡ x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k ) ! x 2 k , ( − ∞ < x < + ∞ ) \cos x = \sum _ {k = 0} ^ \infty \frac{(-1) ^ k}{(2k) !} x ^ {2k} ,(- \infty < x < + \infty) cosx=k=0∑∞(2k)!(−1)kx2k,(−∞<x<+∞)

6 三角函數系的正交性

三角函數系

1 , cos ⁡ x , sin ⁡ x , cos ⁡ 2 x , sin ⁡ 2 x ⋯ cos ⁡ n x , sin ⁡ n x , ⋯ 1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x \cdots \cos nx, \sin nx ,\cdots 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x⋯cosnx,sinnx,⋯

在區間 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [−π,π]上正交，就是指在三角函數系中任意兩個不同的兩個函數的乘積在 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [−π,π] 上的積分等于零，即滿足

∫ − π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x = { 0 , m ≠ n π , m = n \int _ {-\pi} ^ {\pi} \sin mx \sin nx dx = \left \{ \begin{aligned} 0, m \ne n \\ \pi, m = n \end{aligned} \right. ∫−ππsinmxsinnxdx={0,m̸=nπ,m=n

∫ − π π cos ⁡ m x cos ⁡ n x d x = { 0 , m ≠ n π , m = n \int _ {-\pi} ^ {\pi} \cos mx \cos nx dx = \left \{ \begin{aligned} 0, m \ne n \\ \pi, m = n \end{aligned} \right. ∫−ππcosmxcosnxdx={0,m̸=nπ,m=n

∫ − π π sin ⁡ m x cos ⁡ n x d x = 0 , ∫ − π π cos ⁡ n x d x = ∫ − π π sin ⁡ n x d x = 0 \int _ {-\pi} ^ {\pi} \sin mx \cos nx dx = 0, \int _ {-\pi} ^ {\pi} \cos nx dx = \int _ {-\pi} ^ {\pi} \sin nx dx = 0 ∫−ππsinmxcosnxdx=0,∫−ππcosnxdx=∫−ππsinnxdx=0

其中 m , n m, n m,n都是正整數。

7 傅裡葉級數

7.1 描述

f ( x ) ∼ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ) f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum _ {n = 1} ^ \infty(a _ n \cos nx + b_n \sin nx ) f(x)∼2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)

其中

a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x a_n = \frac{1}{\pi} \int _ {-\pi} ^ \pi f(x) \cos nx dx an=π1∫−ππf(x)cosnxdx

b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ n x d x b_n = \frac{1}{\pi} \int _ {-\pi} ^ \pi f(x) \sin nx dx bn=π1∫−ππf(x)sinnxdx

7.2 傅裡葉級數的收斂定理（狄利克雷充分條件）

設 f ( x ) f(x) f(x) 是周期為 2 π 2\pi 2π 的周期函數，如果它滿足

在一個周期内連續或隻有有限個第一類間斷點
在一個周期内至多隻有有限個極值點

則 f ( x ) f(x) f(x) 的傅裡葉級數收斂，并且

當 x x x 是 f ( x ) f(x) f(x) 的連續點時，級數收斂于 f ( x ) f(x) f(x)

當 x x x 是 f ( x ) f(x) f(x) 的間斷點時，級數收斂于 1 2 [ f ( x − ) + f ( x + ) ] \frac{1}{2}[f(x ^ -) + f(x ^ +)] 21[f(x−)+f(x+)]

7.3 周期延拓

将隻在區間 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [−π,π]上有定義且滿足收斂定理的條件，我們可以将其在定義域外補充它的定義，使它拓廣成一個周期為 2 π 2\pi 2π的周期函數 φ ( x ) \varphi (x) φ(x)，然後就可以将 φ ( x ) \varphi (x) φ(x)展開為傅裡葉級數，最後将其限制在 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [−π,π]内，此時 φ ( x ) ≡ f ( x ) \varphi (x) \equiv f(x) φ(x)≡f(x)

7.4 正弦級數和餘弦級數

奇函數的傅裡葉級數是隻含有正弦項的正弦級數

偶函數的傅裡葉級數是隻含有餘弦項的餘弦級數

7.5 奇延拓與偶延拓

設函數 f ( x ) f(x) f(x)定義在 [ 0 , π ] [0, \pi] [0,π]上且滿足收斂定理的條件

7.5.1 奇延拓

令

F ( x ) = { f ( x ) , 0 < x ≤ π 0 , x = 0 − f ( − x ) , − π < x < 0 F(x) = \left \{ \begin{aligned} & f(x), & 0 < x \le \pi\\ & 0, & x = 0 \\ & - f(-x), & -\pi < x < 0 \end{aligned} \right. F(x)=⎩⎪⎨⎪⎧f(x),0,−f(−x),0<x≤πx=0−π<x<0

可以獲得 f ( x ) f(x) f(x)的正弦級數展開式

7.5.2 偶延拓

令

F ( x ) = { f ( x ) , 0 ≤ x ≤ π f ( − x ) , − π < x < 0 F(x) = \left \{ \begin{aligned} & f(x), & 0 \le x \le \pi\\ & f(-x), & -\pi < x < 0 \end{aligned} \right. F(x)={f(x),f(−x),0≤x≤π−π<x<0

可以獲得 f ( x ) f(x) f(x)的餘弦級數展開式

7.6 一般周期函數的傅裡葉級數

設周期為 2 l 2l 2l的周期函數 f ( x ) f(x) f(x)滿足收斂定理的條件，則它的傅裡葉級數展開式為

f ( x ) ∼ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n π x l + b n sin ⁡ n π x l ) ( x ∈ C ) f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum _ {n = 1} ^ \infty(a _ n \cos \frac{n\pi x}{l} + b_n \sin \frac{n\pi x}{l} ) (x \in C) f(x)∼2a0+n=1∑∞(ancoslnπx+bnsinlnπx)(x∈C)

其中

a n = 1 l ∫ − l l f ( x ) cos ⁡ n π x l d x a_n = \frac{1}{l} \int _ {-l} ^ l f(x) \cos \frac{n\pi x}{l} dx an=l1∫−llf(x)coslnπxdx

b n = 1 l ∫ − l l f ( x ) sin ⁡ n π x l d x b_n = \frac{1}{l} \int _ {-l} ^ l f(x) \sin \frac{n\pi x}{l} dx bn=l1∫−llf(x)sinlnπxdx

C = { x ∣ f ( x ) = 1 2 [ f ( x − ) + f ( x + ) ] } C = \{ x | f(x) = \frac{1}{2}[f(x ^ -) + f(x ^ +)] \} C={x∣f(x)=21[f(x−)+f(x+)]}

高等數學（下）無窮級數1 常數項級數的概念和性質2 常數項級數的審斂法3 函數項級數的基本概念4 幂級數5 函數展開成幂級數6 三角函數系的正交性7 傅裡葉級數