一、 MCMC抽样
也许读者会觉得诧异，为什么在一本介绍主题模型的书中却看到了抽样的知识？作者是不是偏题了？
答案当然是没有。
相信你应该听说过有一门课程叫做统计学，在这门课程中，抽样占据着举足轻重的地位。当统计学的研究者们想要了解一个总体的某些参数时，他们的方案是，先去抽样获得样本，通过样本参数去估计总体参数。比如，想知道某财经高校学生们（总体）的平均月消费水平（总体参数），做法是：a.先抽样一部分样本，如从每个学院抽取20个人去调查他们的月消费水平，假设有20个学院，那么就获得了400个人（样本）的月消费水平；b.算出这400个样本的平均月消费水平（样本参数）；c.可以认为该财经高校学生们的平均月消费水平估计为这400个样本的平均月消费水平。
本篇的MCMC抽样与LDA主题模型的关系类比统计学里的抽样。在LDA主题模型的参数求解中，我们会使用MCMC抽样去做。
MCMC四个字母的含义
第一个MC ，是Monte Carlo(蒙特卡洛)的首字母缩写。本篇的蒙特卡洛指一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。采样过程通常通过计算机来来实现。
蒙特卡洛此名由乌拉姆提出，事实上蒙特卡洛是摩纳哥公国的一座城市，是著名的赌场，世人称之为“赌博之国”。众人皆知，赌博总是和统计密切关联的，所以这个命名风趣而贴切、不仅有意思而且有意义。
第二个MC：Markov Chain(马尔科夫链)。这是MCMC抽样中很重要的一个思想，将会在后篇细讲。
（一）逆变换采样
刚刚有提到，蒙特卡洛指一种随机模拟方法，通常通过计算机来实现。然而，从本质上来说，计算机只能实现对均匀分布的采样。在此基础上对更为复杂的分布进行采样，应该怎么做呢？这就需要用到逆变换采样：
温故两个定义
对于随机变量 X，如下定义的函数 F：
F(x)=PX≤x,−∞<x<∞ F ( x ) = P X ≤ x , − ∞ < x < ∞
称为X 的 累积分布函数。对于连续型随机变量 X 的累积分布函数 F(x)，如果存在一个定义在实数轴上的非负函数 f(x)，使得对于任意实数 x，有下式成立：
F(x)=∫f(t)dt F ( x ) = ∫ f ( t ) d t
则称 f(x) 为 X 的 概率密度函数。显然，当概率密度函数存在的时候，累积分布函数是概率密度函数的积分。概率等于区间乘概率密度。
步骤
欲对密度函数 f（x） f （ x ） 采样，并得到m 个观察值，则重复下面的步骤 m 次：
1、从Uniform(0,1)中随机生成一个值，用 u 表示。
2、计算反函数 F(−1)(u) F ( − 1 ) ( u ) 的值 x，则x 就是从 f(x) f ( x ) 中得出的一个采样点。
举例：
想对一个复杂概率密度函数 f(x) f ( x ) 抽样，其概率密度形式如下：
F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪8x,if0≤x<0.2583−83x,if0.25≤x<1 0,otherwise F ( x ) = { 8 x , i f 0 ≤ x < 0.25 8 3 − 8 3 x , i f 0.25 ≤ x < 1 0 , o t h e r w i s e
1、求 f(x) f ( x ) 的累计分布函数 F(x) F ( x ) ：
F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪0,ifx<04x2,if0≤x<0.2583x−43x2−13,if0.25≤x<1 1,ifx>1 F ( x ) = { 0 , i f x < 0 4 x 2 , i f 0 ≤ x < 0.25 8 3 x − 4 3 x 2 − 1 3 , i f 0.25 ≤ x < 1 1 , i f x > 1
2、求 F(x) F ( x ) 的反函数： F(−1)(u) F ( − 1 ) ( u )
F(x)=⎧⎩⎨u√2,if0≤u<0.251−3(1−u)√2,if0.25≤x<1 F ( x ) = { u 2 , i f 0 ≤ u < 0.25 1 − 3 ( 1 − u ) 2 , i f 0.25 ≤ x < 1
重复m次逆变换采样以下步骤：从Uniform(0,1)中随机生成一个值，用 u 表示。计算反函数 F(−1)(u) F ( − 1 ) ( u ) 的值 x，则x 就是从 f(x) f ( x ) 中得出的一个采样点。最终将采样点图像（蓝色）与实际密度函数（红色）比较，得图如下：
 可以看到两条线几乎重合，这表明逆变换采样可以很好的模拟出某些复杂分布。 **存在问题：** 逆变换采样有求解累积分布函数和反函数这两个过程，而有些分布的概率分布函数可能很难通过对概率密度p(x)的积分得到，再或者概率分布函数的反函数也很不容易求。这个时候应该怎么办呢？此时提出了拒绝采样的解决方案。
（二）拒绝采样
欲对逆变换采样不再适用的密度函数 p(x) p ( x ) 采样，如果能找到另外一个概率密度为 q(x) q ( x ) 的函数，它相对容易采样。如采用逆变换采样方法可以很容易对 q(x) q ( x ) 进行采样，甚至 q(x) q ( x ) 就是计算机可以直接模拟的均匀分布。此时我们可直接对 q(x) q ( x ) 采样，然后按照一定的方法拒绝某些样本，达到接近 p(x) p ( x ) 分布的目的。
步骤
 当我们将 q(x) q ( x ) 与一个常数 K 相乘之后，可以实现下图所示之关系，即 K⋅q(x)将p(x)完全“罩住”：p(x) ≤Kq(x)。重复以下步骤抽样： •x 轴方向：从q(x)分布抽样得到 Z0 Z 0 。 •y 轴方向：从均匀分布 （0,Kq(Z0)) （ 0 , K q ( Z 0 ) ) 中抽样得到 u0 u 0 。 •如果刚好落到灰色区域，否则接受这次抽样： u0 u 0 > p(Z0) p ( Z 0 ) , 拒绝该样本。 •重复以上过程。 举例：利用拒绝采样计算 π π 值  如图所示，阴影区域有一个边长为1的正方形，正方形里有一个半径为1的1/4圆。则有：S(1/4圆）= 1/4*π*R^2= 1/4π；S(正方形）=1。现在对这个正方形随机取点，某点到原点的距离小于1,则说明它在1/4圆内。可以认为，落在圆内的次数/取点总次数=1/4圆的面积/正方形的面积。即： π=4∗s(正方形)∗落在圆内的次数取点总次数 π = 4 ∗ s ( 正 方 形 ) ∗ 落 在 圆 内 的 次 数 取 点 总 次 数 随着采样点的增多，最后的结果π会越精准。 这里也就是用到了拒绝采样的思想。要计算 π π 值，即寻求对圆这个复杂分布抽样，圆不好搞定，于是我们选择了一个相对容易的正方形分布，在对正方形随机取点的时候，如果某点到原点的距离小于1,则说明它在1/4圆内，接受这个样本，否则拒绝它。 而抽样的时候； 基于以上思想我们可以利用计算机建模。
（三）马尔科夫链
马尔科夫链就是第二个MC:Markov Chain。定义为：根据概率分布，可以从一个状态转移到另一个状态，但是状态转移之间服从马氏性的一种分布。
解释一下定义中提到的两个名词：
马氏性：状态转移的概率只依赖与他的前一状态。数学表达为: P(Xn+1=k|Xn=kn,Xn−1=kn−1,…,X1=k1)=P(Xn+1=k|Xn=kn) P ( X n + 1 = k | X n = k n , X n − 1 = k n − 1 , … , X 1 = k 1 ) = P ( X n + 1 = k | X n = k n )
状态转移：状态的改变叫做转移(状态可以向自身转移），与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。 q(i,j)=q(j|i)=q(i→j)： q ( i , j ) = q ( j | i ) = q ( i → j ) ： 表示状态 i转移到状态j的概率。
如在天气事件中，由前天的下雨转移到昨天的多云，昨天的多云转变到今天的艳阳天。这里所说的下雨、多云、艳阳天都是一种状态。从下雨转移到多云，称之为状态转移。而今天的艳阳天只与昨天的多云有关，与前天的天气没有半点关系，这就是所谓马氏性。
案例
社会学家经常把人按其经济状况分成三类：下、中、上层；我们用1,2,3分别代表这三个阶层（对应于马氏链中环境下的三个状态）。如果一个人的收入属于下层类别，则他的孩属于下层收入的概率是0.665，属于中层的概率是0.28，属于上层的概率是0.07。这里汇总了阶层收入变化的转移概率如下图所示：
 状态转移的概率只依赖与他的前一状态，也就是考察父代为第i层则子代为第j层的概率。 由此得出转移概率矩阵： ⎡⎣⎢0.650.150.120.280.670.360.070.180.52⎤⎦⎥ [ 0.65 0.28 0.07 0.15 0.67 0.18 0.12 0.36 0.52 ]
给定当前这一代人处于下、中、上层的概率分布向量是： π0=(π0(1),π0(2),π0(3)) π 0 = ( π 0 ( 1 ) , π 0 ( 2 ) , π 0 ( 3 ) ) ，那么他们的子女的分布比例将是 π1=π0P π 1 = π 0 P ,孙子代的分布比例将是 π2=π1P=π0P2 π 2 = π 1 P = π 0 P 2 ,以此类推,第n代的分布比例将是 πn=π0Pn π n = π 0 P n . 显然，第n+1代中处于第j个阶层的概率为：
π(Xn+1=j)=∑i=0nπ(Xn=i).P(Xn+1=j|Xn=i) π ( X n + 1 = j ) = ∑ i = 0 n π ( X n = i ) . P ( X n + 1 = j | X n = i )
给定初始概率 π0=(0.21,0.68,0.11) π 0 = ( 0.21 , 0.68 , 0.11 ) ，即第0代的时候各阶层占比是(0.21,0.68,0.11)。显然由此公式我们可以分别计算第一代的第1、2、3阶层的占比，第二代的第1、2、3阶层的占比，….。
如：计算第一代的第1阶层的占比为： 0.21∗.65+0.68∗0.15+0.11∗0.12=0.2517≈0.252 0.21 ∗ .65 + 0.68 ∗ 0.15 + 0.11 ∗ 0.12 = 0.2517 ≈ 0.252
以此类推，各代各阶层的占比如下：
 可以看到，从第5代开始，各阶层的分布就稳定不变了。这个是偶然的吗？如若不是，那是初始概率决定的还是转移概率矩阵决定的呢？接下来验证一下。 换一个初始概率 π0=(0.75,0.15,0.1) π 0 = ( 0.75 , 0.15 , 0.1 ) ，迭代结果如下：  我们发现，到第9代的时候，分布又收敛了，而且收敛的分布都是 π=(0.286,0.489,0.225) π = ( 0.286 , 0.489 , 0.225 ) ,也就是说收敛的分布与初始概率无关。 这里还有一个神奇的地方：我们计算一下转移矩阵P的n次幂，发现：
P20=P21=⋯=P100=Pn=⎡⎣⎢0.2860.2860.2860.4890.4890.4890.2250.2250.225⎤⎦⎥ P 2 0 = P 2 1 = ⋯ = P 1 00 = P n = [ 0.286 0.489 0.225 0.286 0.489 0.225 0.286 0.489 0.225 ]
也就是说，当n足够大的时候， Pn P n 矩阵每一行都收敛到 π=(0.286,0.489,0.225) π = ( 0.286 , 0.489 , 0.225 ) 这个概率分布。于是关于马氏链我们有定理如下：
定理一：（马氏链的平稳分布）
如果一个非周期马氏链具有概率转移矩阵 P，且它的任何两个状态都是连通的，则
limn→∞Pnij lim n → ∞ P i j n
存在且与 i 无关（也即矩阵 P^n 的每一行元素都相同），记 limn→∞Pnij=π(j) lim n → ∞ P i j n = π ( j )
，我们有：
（1） limn→∞Pn=⎡⎣⎢π(1)...π(1).........π(n)...π(n)⎤⎦⎥ lim n → ∞ P n = [ π ( 1 ) . . . π ( n ) . . . . . . . . . π ( 1 ) . . . π ( n ) ]
（2） π(j)=∑∞0π(i)Pij也即π=πP。 π ( j ) = ∑ 0 ∞ π ( i ) P i j 也 即 π = π P 。
（3）π 是方程 π=πP 的唯一非负解。
其中， π=[π(1),π(2),⋯,π(j),⋯]，∑∞0π(i)=1 π = [ π ( 1 ) , π ( 2 ) , ⋯ , π ( j ) , ⋯ ] ， ∑ 0 ∞ π ( i ) = 1 （符合概率上对分布的要求），π 称为马氏链的平稳分布。
定理二（细致平稳条件）
如果非周期马氏链的转移矩阵 P和分布π(x)满足：π(i)Pij=π(j)Pji，则π(x)是马氏链的平稳分布，上式被称为细致平稳条件。 P 和 分 布 π ( x ) 满 足 ： π ( i ) P i j = π ( j ) P j i ， 则 π ( x ) 是 马 氏 链 的 平 稳 分 布 ， 上 式 被 称 为 细 致 平 稳 条 件 。
以上两个定理极其重要，是MCMC理论不可缺少的理论基础。
（四）从马尔科夫链到抽样
对于给定的概率分布 π(x) π ( x ) ，我们希望有快捷的方式生成它对应的样本。由于马氏链能收敛到平稳分布，于是一个很漂亮的想法是：如果我们能够构造一个转移矩阵为 P的马氏链，使得该马氏链的平稳分布恰好是 π(x) π ( x ) ，那么我们从任何一个初始状态出发沿着马氏链转移，得到一个转移序列 x1,x2,…,xn,x(n+1),…， x 1 , x 2 , … , x n , x ( n + 1 ) , … ， 如果马氏链在第 n 步已经收敛了，于是 x1,x2,…,xn,x(n+1),… x 1 , x 2 , … , x n , x ( n + 1 ) , … 自然是分布 π(x) π ( x ) 的样本。
马氏链的收敛性质主要有转移矩阵 P决定，所以基于马氏链做采样（比如MCMC）
的关键问题是如何构造转移矩阵，使得其对应的平稳分布恰是我们需要的分布 π(x) π ( x ) 。
MCMC采样
根据细致平稳理论，只要我们找到了可以使概率分布 π(x) π ( x ) 满足细致平稳分布的矩阵P即可。这给了我们寻找从平稳分布π, 找到对应的马尔科夫链状态转移矩P的新思路。
假设我们已经有一个转移矩阵为Q的马氏链。 q(i,j) q ( i , j ) 表示状态 i转移到状态j的概率.通常情况下，细致平稳条件不成立，即：
p(i)q(i,j)≠p(j)q(j,i) p ( i ) q ( i , j ) ≠ p ( j ) q ( j , i )
对上式改造使细致平稳条件成立：引入一个α(i,j)和α(j,i) ，并让等式两端取等：
p(i)q(i,j)α(i,j)=p(j)q(j,i)α(j,i) p ( i ) q ( i , j ) α ( i , j ) = p ( j ) q ( j , i ) α ( j , i )
问题是什么样的α(i,j)和α(j,i)可以使等式成立呢？按照对称性，可以取：
α(i,j)=p(j)q(j,i) α ( i , j ) = p ( j ) q ( j , i )
α(j,i)=p(i)q(i,j) α ( j , i ) = p ( i ) q ( i , j )
所以我们改造后的马氏链 Q′ Q ′ 如下。并且 Q′ Q ′ 恰好满足细致平稳条件，所以马氏链 Q′ Q ′ 的平稳分布就是 P(x) P ( x ) 。
 **步骤** （1）初始化马氏链初始状态 X0=x0 X 0 = x 0 （2）对 t=0,1,2,3,… t = 0 , 1 , 2 , 3 , … 循环一下过程进行采样： 第 t t 时刻马氏链状态为Xt=xtXt=xt，采样 y∼q(x|x(t)) y ∼ q ( x | x ( t ) ) ； 从均匀分布采样 u∼Uniform[0,1]； u ∼ U n i f o r m [ 0 , 1 ] ； 如果 u<α(xt,y)=p(y)q(xt│y), u < α ( x t , y ) = p ( y ) q ( x t │ y ) , 则接受 xt→y， x t → y ， 即 xt+1)→y x t + 1 ) → y ；否则不接受概率转移，即 Xt+1=xt。 X t + 1 = x t 。
（五）Metropolis-Hastings采样
以上过程不论是离散或是连续分布，都适用。
以上的MCMC采样算法已经能正常采样了，但是马氏链Q在转移的过程中的接受率α(i,j)可能偏小，这样我们会拒绝大量的跳转，这使得收敛到平稳分布的速度太慢。有没有办法提升接受率呢？
我们回到MCMC采样的细致平稳条件：
p(i)q(i,j)α(i,j)=p(j)q(j,i)α(j,i) p ( i ) q ( i , j ) α ( i , j ) = p ( j ) q ( j , i ) α ( j , i )
我们采样效率低的原因是 α(i,j)α(i,j) α ( i , j ) α ( i , j ) 太小了，比如为 α(j,i)为0.1，而α(j,i) α ( j , i ) 为 0.1 ， 而 α ( j , i ) 为0.2。即：
p(i)q(i,j)∗0.1=p(j)q(j,i)∗0.2 p ( i ) q ( i , j ) ∗ 0.1 = p ( j ) q ( j , i ) ∗ 0.2
这时我们可以看到，如果两边同时扩大五倍，接受率提高到了0.5，但是细致平稳条件却仍然是满足的，即：
p(i)q(i,j)∗0.5=p(j)q(j,i)∗0.2 p ( i ) q ( i , j ) ∗ 0.5 = p ( j ) q ( j , i ) ∗ 0.2
这样我们的接受率可以做如下改进，即：
α(i,j)=min{p(j)q(j│i)p(i)p(i│j),1} α ( i , j ) = m i n { p ( j ) q ( j │ i ) p ( i ) p ( i │ j ) , 1 }
此时便得到了常见的 Metropolis−Hastings M e t r o p o l i s − H a s t i n g s 采样算法。
步骤
（1）初始化马氏链初始状态 X0=x0 X 0 = x 0
（2）对 t=0,1,2,3,… t = 0 , 1 , 2 , 3 , … 循环一下过程进行采样：
第t时刻马氏链状态为 Xt=xt X t = x t ，采样 y∼q(x|x(t)) y ∼ q ( x | x ( t ) ) ；
从均匀分布采样 u∼Uniform[0,1]； u ∼ U n i f o r m [ 0 , 1 ] ；
如果 u<α(xt,y)=min{p(j)q(j│i)p(i)p(i│j),1} u < α ( x t , y ) = m i n { p ( j ) q ( j │ i ) p ( i ) p ( i │ j ) , 1 } ,则接受 xt→y x t → y ,即 xt+1→y x t + 1 → y ；否则不接受概率转移，即 Xt+1=xt。 X t + 1 = x t 。
以上M-H算法只针对低维的情况，对于高维情况，我们采用Gibbs采样。
（六）Gibbs采样
对于高维情况，我们采用Gibbs采样。
以二维为例，假设 p(x,y) p ( x , y ) 是一个二维联合数据分布，考察x坐标相同的两个点 A(x1,y1)和B(x1,y2) A ( x 1 , y 1 ) 和 B ( x 1 , y 2 ) ，容易发现下面两式成立：
p(x1,y1)p(y2│x1)=p(x1)p(y1│x1)p(y2|x1) p ( x 1 , y 1 ) p ( y 2 │ x 1 ) = p ( x 1 ) p ( y 1 │ x 1 ) p ( y 2 | x 1 )
p(x1,y2)p(y1│x1)=p(x1)p(y2│x1)p(y1|x1) p ( x 1 , y 2 ) p ( y 1 │ x 1 ) = p ( x 1 ) p ( y 2 │ x 1 ) p ( y 1 | x 1 )
所以得到： p(x1,y1)p(y2│x1)=p(x1,y2)p(y1│x1) p ( x 1 , y 1 ) p ( y 2 │ x 1 ) = p ( x 1 , y 2 ) p ( y 1 │ x 1 )
即： p(A)p(y2│x1)=p(B)p(y1│x1) p ( A ) p ( y 2 │ x 1 ) = p ( B ) p ( y 1 │ x 1 )
观察上式再观察细致平稳条件的公式，我们发现在 x=x1 x = x 1 这条直线上，如果用条件概率分布 p(y|x1) p ( y | x 1 ) 作为马尔科夫链的状态转移概率，则任意两个点之间的转移满足细致平稳条件！
同样 ,y=y1 , y = y 1 这条直线上，取两点 A(x1,y1),C(x2,y1) A ( x 1 , y 1 ) , C ( x 2 , y 1 ) 也有如下等式：
基于上面的发现，我们可以构造平面上两点之间的转移概率矩阵Q：
Q(A→B)=p(yB│x1)ifxA=xB=x1 Q ( A → B ) = p ( y B │ x 1 ) i f x A = x B = x 1
Q(A→C)=p(xc│x1)ifyA=yc=y1 Q ( A → C ) = p ( x c │ x 1 ) i f y A = y c = y 1
Q(A→D)=0otherwise Q ( A → D ) = 0 o t h e r w i s e
有了上面这个状态转移矩阵，我们很容易验证平面上的两点X,Y，满足细致平稳条件。
p(X)Q(X→Y)=p(Y)Q(Y→X) p ( X ) Q ( X → Y ) = p ( Y ) Q ( Y → X )
于是这个二维空间上的马氏链收敛到平稳分布 p(x,y). p ( x , y ) . 于是可以得到二维Gibbs采样的步骤：
随机初始化 X0=x0，Y0=y0 X 0 = x 0 ， Y 0 = y 0
对 t=0,1,2,‘‘‘‘ t = 0 , 1 , 2 , ‘ ‘ ‘ ‘ 循环采样：
y(t+1)∼p(y|xt); y ( t + 1 ) ∼ p ( y | x t ) ;
x(t+1)∼p(x|y(t+1)); x ( t + 1 ) ∼ p ( x | y ( t + 1 ) ) ;
以上采样，马氏链的转移只是轮换的沿着坐标轴x轴和y轴做转移，于是得到样本 (x0,y0),(x0,y1),(x1,y1),(x1,y2),(x2,y2),…， ( x 0 , y 0 ) , ( x 0 , y 1 ) , ( x 1 , y 1 ) , ( x 1 , y 2 ) , ( x 2 , y 2 ) , … ， 马氏链收敛以后得到的样本就是P(x,y)的样本了。但其实坐标轴轮换不是强制要求的最一般的情形可以是，在t时刻，可以在x轴和y轴之间随机的选一个坐标轴，然后按条件概率转移，马氏链一样可以收敛。轮换两个坐标轴只是一种简便形式。
以上二维推广到高维的情形，即 x1变到多维x1 x 1 变 到 多 维 x 1 ，推导过程不变，细致平稳条件依然成立：
p(x1,y1)p(y2│x1)=p(x1,y2)p(y1│x1) p ( x 1 , y 1 ) p ( y 2 │ x 1 ) = p ( x 1 , y 2 ) p ( y 1 │ x 1 )
此时转移矩阵Q由条件分布 p(y│x1) p ( y │ x 1 ) 定义。
Gibbs采样步骤
（1）随机初始化{x_i:i=1,…,n}
（2）对t=0,1,2,….循环采样：
x1(t+1)∼p(x1|xt)2,x(t)3,…,x(t)n) x 1 ( t + 1 ) ∼ p ( x 1 | x 2 t ) , x 3 ( t ) , … , x n ( t ) )
x(t+1)2∼p(x2|x(t+1)1,x(t)3,…,x(t)n) x 2 ( t + 1 ) ∼ p ( x 2 | x 1 ( t + 1 ) , x 3 ( t ) , … , x n ( t ) )
⋅⋅⋅ · · ·
x(t+1)j∼p(xj|x(t+1)2,...,x(t+1)j−1,x(t)j,…,x(t)n) x j ( t + 1 ) ∼ p ( x j | x 2 ( t + 1 ) , . . . , x j − 1 ( t + 1 ) , x j ( t ) , … , x n ( t ) )
⋅⋅⋅ · · ·
x(t+1)n∼p(xn|x(t+1)1,x(t+1)2,…,x(t+1)n−1) x n ( t + 1 ) ∼ p ( x n | x 1 ( t + 1 ) , x 2 ( t + 1 ) , … , x n − 1 ( t + 1 ) )
二、主题模型与MCMC采样
回顾一下主题模型步骤：
0、 首先随机地给每个词分配一个主题，之后按以下1、2步骤更新主题；
求某一个词 wi w i 对应主题特征z_i的条件概率分布 p(zi=k|w⃗ ,z⃗ −i) p ( z i = k | w → , z → − i ) 。其中， z⃗ −i z → − i 代表去掉下标为i的词后的主题分布。
条件概率分布 p(zi=k|w⃗ ,z⃗ −i) p ( z i = k | w → , z → − i ) ，我们就可以进行Gibbs采样，最终在Gibbs采样收敛后得到第i个词的主题。
采样得到了所有词的主题,那么通过统计所有词的主题计数，就可以得到各个主题的词分布。
接着统计各个文档对应词的主题计数，就可以得到各个文档的主题分布。
在上一节介绍LDA主题模型的时候得到了生成整个语料库的联合分布概率。我们知道，在概率论中，如果得到了联合分布，则能很轻易地得到条件分布、边缘分布。那么今天我们就由联合分布
去求条件分布 p(zi=k|w⃗ ,z⃗ −i) p ( z i = k | w → , z → − i )
求解条件分布 p(zi=k|w⃗ ,z⃗ −i) p ( z i = k | w → , z → − i )
对于下标i,由于它对应的词wi是可以观察到的，所以， p(zi=k|w⃗ ,z⃗ −i)∝p(zi=k,wi=t|w⃗ −i,z⃗ −i) p ( z i = k | w → , z → − i ) ∝ p ( z i = k , w i = t | w → − i , z → − i ) ，对于 zi=k,wi=t, z i = k , w i = t , 它只涉及到第d篇文档和第k个主题两个Dirichlet-multi共轭，即：
于是有：
再由Dirichlet期望公式可得：
有了这个公式，我们就可以用Gibbs采样去采样所有词的主题，当Gibbs采样收敛后，即得到所有词的采样主题。采样得到了所有词的主题,那么通过统计所有词的主题计数，就可以得到各个主题的词分布。接着统计各个文档对应词的主题计数，就可以得到各个文档的主题分布。
应用于LDA的Gibbs采样算法流程：
1)选择合适的主题数K, 选择合适的超参数向量α,η
2） 对应语料库中每一篇文档的每一个词，随机的赋予一个主题编号z
3) 重新扫描语料库，对于每一个词，利用Gibbs采样公式更新它的topic编号，并更新语料库中该词的编号。
4） 重复第2步的基于坐标轴轮换的Gibbs采样，直到Gibbs采样收敛。
5） 统计语料库中的各个文档各个词的主题，得到文档主题分布θ_d，统计语料库中各个主题词的分布，得到LDA的主题与词的分布β_k。
参考文献：
博客：http://blog.csdn.net/u010159842/article/details/48637095
https://www.cnblogs.com/pinard/p/6867828.html
http://blog.csdn.net/baimafujinji/article/details/51407703
《LDA数学八卦》