leetcode-53 最大子序和

题目描述如下：

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],

输出: 6

解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

方法一（暴力求解）：

针对数组中的每一个元素，穷举所有的可能性，从中找到以当前元素结尾的最大的元素即可；

穷举的过程中维护一个最大值，然后遍历完整个数组，那么最大值即为整个数组的最大值。

实现如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if(nums.size() == 1) return nums[0];

        int res = nums[0];
        for (int i = 1;i < nums.size(); ++i) {
            int pre = _maxSubArray(nums,i);
            res = max(res,pre);
        }

        return res;
    }
private:
    int _maxSubArray(vector<int> &nums, int index) {
        if(index == 0) {
            return nums[0];
        }

        int pre = _maxSubArray(nums, index - 1);
        int res = max(nums[index] + pre, nums[index]);

        return res;
    }
};      

由于是递归的过程，该方法显然会超时，所以引入如下动态规划的方法

方法二（动态规划）：

在暴力求解的过程，我们找到以当前元素为结尾的最大子序列和，然后遍历所有的元素，找到每个元素结尾的最大子序列和中的最大的即为整个数组的最大子序列和

那么可以得到如下状态转移方程

dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])

这里需要注意，子序列是连续的数组，如果发现dp[i-1] + nums[i] < nums[i],那么此时数组的起始元素应从nums[i]开始

int maxSubArray(vector<int>& nums) {
    if(nums.size() == 1) return nums[0];

    int res = nums[0];
    vector<int> dp(nums.size(), 0);
    dp[0] = nums[0];
    for (int i = 1;i < nums.size(); ++i) {
        dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]);
        res = max(res, dp[i]);
    }

    return res;
}      

int maxSubArray(vector<int>& nums) {
    if(nums.size() == 1) return nums[0];

    int res = nums[0];
    int dp0 = nums[0];
    int dp1;
    
    for (int i = 1;i < nums.size(); ++i) {
        dp1 = max(dp0 + nums[i], nums[i]);
        res = max(res, dp1);
        dp0 = dp1;
    }

    return res;
}