leetcode-53 最大子序和

題目描述如下：

給定一個整數數組 nums ，找到一個具有最大和的連續子數組（子數組最少包含一個元素），傳回其最大和。

示例:

輸入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],

輸出: 6

解釋: 連續子數組 [4,-1,2,1] 的和最大，為 6。

方法一（暴力求解）：

針對數組中的每一個元素，窮舉所有的可能性，從中找到以目前元素結尾的最大的元素即可；

窮舉的過程中維護一個最大值，然後周遊完整個數組，那麼最大值即為整個數組的最大值。

實作如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if(nums.size() == 1) return nums[0];

        int res = nums[0];
        for (int i = 1;i < nums.size(); ++i) {
            int pre = _maxSubArray(nums,i);
            res = max(res,pre);
        }

        return res;
    }
private:
    int _maxSubArray(vector<int> &nums, int index) {
        if(index == 0) {
            return nums[0];
        }

        int pre = _maxSubArray(nums, index - 1);
        int res = max(nums[index] + pre, nums[index]);

        return res;
    }
};      

由于是遞歸的過程，該方法顯然會逾時，是以引入如下動态規劃的方法

方法二（動态規劃）：

在暴力求解的過程，我們找到以目前元素為結尾的最大子序列和，然後周遊所有的元素，找到每個元素結尾的最大子序列和中的最大的即為整個數組的最大子序列和

那麼可以得到如下狀态轉移方程

dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])

這裡需要注意，子序列是連續的數組，如果發現dp[i-1] + nums[i] < nums[i],那麼此時數組的起始元素應從nums[i]開始

int maxSubArray(vector<int>& nums) {
    if(nums.size() == 1) return nums[0];

    int res = nums[0];
    vector<int> dp(nums.size(), 0);
    dp[0] = nums[0];
    for (int i = 1;i < nums.size(); ++i) {
        dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]);
        res = max(res, dp[i]);
    }

    return res;
}      

int maxSubArray(vector<int>& nums) {
    if(nums.size() == 1) return nums[0];

    int res = nums[0];
    int dp0 = nums[0];
    int dp1;
    
    for (int i = 1;i < nums.size(); ++i) {
        dp1 = max(dp0 + nums[i], nums[i]);
        res = max(res, dp1);
        dp0 = dp1;
    }

    return res;
}